AI 中文总结
本文针对超临界分支随机游走，建立了经验分布的大偏差原理，通过结合重标度位移树场的大偏差原理和指数等价性，加强了已有结果。
AI 中文摘要
设 \\(\{Z_n\}_{n\geq0}\\) 为超临界分支随机游走，其具有确定的有根 \\(b\\) 叉树（\\(b\geq2\\)）和对称位移，满足 \\(\lim_{x\to+\infty}x^{-\alpha}\log\Pp(X>x)=-\lambda\\)，其中 \\(\alpha,\lambda>0\\)。令 \\(\overline Z_n(\cdot):=Z_n(\cdot)/Z_n(\mathbb{R}),~n\geq0.\\) 对于区间的有限并集 \\(A\\)，我们建立了如下完整的大偏差原理：对每个 Borel 集 \\(\Gamma\subset[0,1]\\)，\\(-\inf_{q\in\Gamma^\circ}Q_A(q) \leq \liminf_{n\to\infty}n^{-\alpha/2} \log\Pp\\!\left(\overline Z_n(\sqrt n\\,A)\in\Gamma\right) \leq \limsup_{n\to\infty}n^{-\alpha/2} \log\Pp\\!\left(\overline Z_n(\sqrt n\\,A)\in\Gamma\right) \leq -\inf_{q\in\overline\Gamma}Q_A(q)\\)，其中 \\(Q_A\\) 是 \\([0,1]\\) 上的良好速率函数。同时，我们获得了 \\(\{\overline Z_n(\sqrt n\\,A)\}_{n\geq1}\\) 的大偏差概率。这加强了 Chen 和 He [Probab. Theory Related Fields 175 (2019) 255-307] 针对具有 Weibull 位移的正则树所获得的非匹配上下界。我们的方法结合了重标度位移树场的大偏差原理和指数等价性。
英文摘要
Let \(\{Z_n\}_{n\geq0}\) be a supercritical branching random walk with deterministic rooted \(b\)-ary tree, \(b\geq2\), and symmetric displacements satisfying \(\lim_{x\to+\infty}x^{-α}\log\Pp(X>x)=-λ\) with \(α,λ>0\). Set $\overline Z_n(\cdot):=Z_n(\cdot)/Z_n(\mathbb{R}),~n\geq0.$ For a finite union \(A\) of intervals, we establish the following full large-deviation principle: for every Borel set \(Γ\subset[0,1]\), \begin{align*} -\inf_{q\inΓ^\circ}Q_A(q) &\leq \liminf_{n\to\infty}n^{-α/2} \log\Pp\!\left(\overline Z_n(\sqrt n\,A)\inΓ\right) &\leq \limsup_{n\to\infty}n^{-α/2} \log\Pp\!\left(\overline Z_n(\sqrt n\,A)\inΓ\right) &\leq -\inf_{q\in\overlineΓ}Q_A(q), \end{align*} where $Q_A$ is a good rate function on $[0,1]$. Meanwhile, we obtain large deviation probabilities for $\{\overline Z_n(\sqrt n\,A)\}_{n\geq1}.$ This strengthens the nonmatching upper and lower bounds obtained by Chen and He [Probab. Theory Related Fields 175 (2019) 255-307] for regular trees with Weibull displacements. Our method combines a large-deviation principle for rescaled displacement tree fields and exponential equivalence.
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