从预三角化到三角化：障碍与精确提升
From Pre-triangulation to Triangulation: Obstructions and Exact Lifting
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中文总结 AI 辅助
本文给出 Verdier 八面体公理的新等价表述，通过预三角范畴中方块的障碍消失刻画三角化，并应用于证明奇异预三角范畴为三角范畴及构造预投射代数的三角化标量族。
中文摘要 AI 辅助
我们给出了 Verdier 八面体公理的一个新的等价表述。预三角范畴中的一个初始方块决定了普通 Hom 群的一个商群中的障碍。该障碍的消失等价于存在一个良好完备化，而 $\mathrm{TR4}$ 等价于与可复合态射相关联的方块的这一消失性质。因此，如果两个预三角化具有相同的底层加法范畴且其中一个为三角化，则当且仅当它们的相对逆 Heller 比较在 Freyd 范畴中的每个短正合列上允许精确提升时，另一个满足 $\mathrm{TR4}$。作为应用，我们证明了 Díaz Cabrera--Muro 的奇异预三角范畴实际上是在每个代数闭域上的三角范畴。我们为任意域上的 $A_{3a-1}$ 型预投射代数以及特征二中的一系列 Dynkin 预投射代数构造了标量族；在每个族中，零参数是唯一的三角化成员。局部方程还产生了可分下降，包括非模等变化的典范三角化以及 Markman--Mehrotra K3 形变范畴。
英文摘要
We give a new equivalent formulation of Verdier's octahedral axiom. An initial square in a pre-triangulated category determines an obstruction in a quotient of ordinary Hom groups. Its vanishing is equivalent to the existence of a good completion, and $\mathrm{TR4}$ is equivalent to this vanishing for the squares associated with composable morphisms. As a consequence, if two pre-triangulations have the same underlying additive category and one is triangulated, then the other satisfies $\mathrm{TR4}$ precisely when their relative inverse Heller comparison admits an exact lift along every short exact sequence in the Freyd category. As applications, we prove that the exotic pre-triangulated category of Díaz Cabrera--Muro is in fact a triangulated category over every algebraically closed field. We construct scalar families for type-$A_{3a-1}$ preprojective algebras over arbitrary fields and for a range of Dynkin preprojective algebras in characteristic two; in each family the zero parameter is the unique triangulated member. The local equations also yield separable descent, including canonical triangulations for non-modular equivariantizations and for the Markman--Mehrotra K3 deformation categories.
发表机构
- Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）
- Tsinghua University（清华大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
