发表机构
Institute of Mathematics, Vilnius University; St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences（维尔纽斯大学数学研究所; 俄罗斯科学院列别捷夫数学研究所圣彼得堡分部）
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本文证明了Lerch超越函数在四个特殊点上的显式连分数表示，并由此导出Hurwitz zeta函数值的连分数，方法结合等价变换、超几何函数、递推与渐近分析。
AI 中文摘要
我们证明了Lerch超越函数$\Phi(z, s, M+1)$的四个显式连分数表示，其中$\Re M>0$且$(z,s)\in\{(-1,1),(-1,2),(1,2),(1,3)\}$。所有连分数具有单位部分分子，而部分分母依赖于参数$M$。证明结合了连分数的等价变换、广义超几何函数、三项递推关系以及最小解的渐近分析。对于$z=1$，相应的表示给出了Hurwitz zeta函数$\zeta(2, M+1)$和$\zeta(3, M+1)$值的连分数。
英文摘要
We prove four explicit continued fraction representations for the Lerch transcendent $Φ(z, s, M+1)$, where $\Re M>0$ and $(z,s)\in\{(-1,1),(-1,2),(1,2),(1,3)\}$. All of the continued fractions have unit partial numerators, while partial denominators depend on the parameter $M$. The proofs combine equivalent transformations of continued fractions, generalized hypergeometric functions, three-term recurrences, and asymptotic analysis of minimal solutions. For $z=1$, the corresponding representations give continued fractions for the values of the Hurwitz zeta function $ζ(2, M+1)$ and $ζ(3, M+1)$.
