发表机构
University of Waterloo（滑铁卢大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文否定回答了 Bucher 1980 年关于上下文无关语言密度的问题，通过构造具有特殊性质的语言 D 及文法论证，证明不存在满足条件的中间上下文无关语言。
AI 中文摘要
1980年，Bucher 提出如下问题：给定上下文无关语言 $L\subseteq U$，且 $U\setminus L$ 是无限的，是否必然存在一个介于两者之间的上下文无关语言 $K$，使得 $K\setminus L$ 和 $U\setminus K$ 都是无限的？我们给出否定回答。我们首先构造一个无限语言 $D$，其补集是上下文无关的，使得对于每个正则语言 $R$，要么 $D\cap R$ 是有限的，要么 $D\setminus R$ 是有限的。$D$ 中的词编码了阶乘的计算；字母的重复确保每个有限自动机要么接受 $D$ 中除有限多个词以外的所有词，要么拒绝 $D$ 中除有限多个词以外的所有词，而一个单计数器自动机识别编码中的错误。然后我们从 $D$ 的补集构造 $L$ 和 $U$。一个文法论证表明，任何上下文无关的中间语言 $K$ 都会像某个正则语言一样分割 $D$。这证明了所需的不可能性。$L$ 和 $U$ 都可以在二元字母表上定义。
英文摘要
In 1980 Bucher asked whether, given context-free languages $L\subseteq U$ with $U\setminus L$ infinite, there must be a context-free language $K$ between them for which both $K\setminus L$ and $U\setminus K$ are infinite. We give a negative answer. We first construct an infinite language $D$ with context-free complement such that, for every regular language $R$, either $D\cap R$ or $D\setminus R$ is finite. The words of $D$ encode computations of factorials; repetition of letters ensures that each finite automaton either accepts all but finitely many words of $D$ or rejects all but finitely many words of $D$, while a one-counter automaton recognizes errors in the encodings. We then construct $L$ and $U$ from the complement of $D$. A grammar argument shows that any context-free intermediate language $K$ would divide $D$ in the same way as some regular language. This proves the required impossibility. Both $L$ and $U$ can be taken over a binary alphabet.
