四角康托尘与单位圆的交集及闵可夫斯基和
Intersections and Minkowski Sums of Four-Corner Cantor Dusts with the Unit Circle
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中文总结 AI 辅助
本文研究四角康托尘与单位圆的交集及闵可夫斯基和，证明交集在特定参数范围内无限且具有正维数，并给出闵可夫斯基和具有非空内部的完整分类。
中文摘要 AI 辅助
对于 $0<\lambda<1/2$，设 $K_{\lambda}$ 为迭代函数系统 $\{\lambda x, \lambda x+1-\lambda\}$ 的吸引子，并令 $C_\lambda=K_{\lambda}\times K_{\lambda}$。我们研究交集 \\[ E_\lambda=C_\lambda\cap S^1 \\] 与闵可夫斯基和 \\[ A_{\lambda}=C_\lambda+S^1, \\] 其中 $S^1$ 是单位圆。对于交集问题，设 $\lambda_{\infty}\approx 0.305854$ 为方程 $2x^3-3x^2+4x-1=0$ 在 $(1/4,1/2)$ 中的唯一根。我们证明对每个 $\lambda_{\infty}<\lambda<1/2$，$E_\lambda$ 是无限的。特别地，$C_{1/3}\cap S^1$ 是无限的，回答了 Jiang、Kong、Li 和 Wang 的问题的第一部分。此外，当 $(\sqrt{3}-1)/2<\lambda<1/2$ 时，$E_\lambda$ 具有连续统的基数；当 $\sqrt{2}-1<\lambda<1/2$ 时，$\dim_{\rm H} E_\lambda>0$。我们还建立了 $\lambda$ 接近 $1/2$ 时 $\dim_{\rm H} E_\lambda$ 的定量下界；特别地，当 $\lambda\uparrow1/2$ 时，$\dim_{\rm H} E_\lambda$ 趋近于 $1$。对于闵可夫斯基和问题，我们证明在先前未解决的区间 $1/4<\lambda<1/3$ 上，$A_{\lambda}$ 具有非空内部，回答了 Simon 和 Taylor 的问题。结合 Simon 和 Taylor 的早期结果，我们的定理给出了完整分类：$A_{\lambda}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中具有非空内部当且仅当 $1/4<\lambda<1/2$。更一般地，我们证明当 $1/4<\lambda<1/2$ 时，对每条正则 $C^1$ 闭曲线 $\Gamma$，$C_\lambda+\Gamma$ 具有非空内部。
英文摘要
For $0<λ<1/2$, let $K_λ$ be the attractor of the iterated function system $\{λx, λx+1-λ\}$, and put $C_λ=K_λ\times K_λ$. We study the intersection \[ E_λ=C_λ\cap S^1 \] and the Minkowski sum \[ A_λ=C_λ+S^1, \] where $S^1$ is the unit circle. For the intersection problem, we prove that $E_λ$ has the cardinality of the continuum for $(\sqrt{3}-1)/2<λ<1/2$, and $\dim_{\rm H} E_λ>0$ for $\sqrt{2}-1<λ<1/2$. We also establish quantitative lower bounds for $\dim_{\rm H} E_λ$ for $λ$ near $1/2$; in particular, $\dim_{\rm H} E_λ$ approaches $1$ as $λ\uparrow1/2$. For the Minkowski sum problem, we prove that $A_λ$ has nonempty interior throughout the previously open range $1/4<λ<1/3$, answering a question of Simon and Taylor. Together with earlier results of Simon and Taylor, our theorem yields the complete classification: $A_λ$ has nonempty interior in $\mathbb{R}^2$ if and only if $1/4<λ<1/2$. More generally, we prove that $C_λ+Γ$ has nonempty interior for every regular $C^1$ closed curve $Γ$ whenever $1/4<λ<1/2$.
发表机构
- School of Mathematics and Statistics HNP-LAMA Central South University（中南大学数学与统计学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
