Dunkl-Riesz变换向量值的无维弱型端点估计
Dimension free weak-type endpoint estimates for the vectors of the Dunkl--Riesz transform
- Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
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AI总结：
本文提出Dunkl框架下的障碍/部分平衡方法，证明向量Dunkl-Riesz变换及其Schrödinger变体的无维弱型(1,1)估计，常数依赖反射群正根计数。
AI中文摘要：
设 $R\subset\mathbb{R}^d$ 为约化根系，$G$ 为相应的有限反射群，$k\ge0$ 为 $G$-不变的乘性函数。我们发展了 Ouyang、Spector 和 Stockdale（ https://arxiv.org/abs/2608.18068 ）针对欧几里得分数阶拉普拉斯算子的障碍/部分平衡方法的 Dunkl 类比。对于 $0<s<2$，非负 $f\in L^1(\nu_k)\cap L^2(\nu_k)$ 以及 $\lambda>0$，我们得到分解 \\[ f=\mu+(-\Delta_k)^{s/2}u, \qquad 0\le\mu\le\lambda, \\] 其中在 $\Omega=\{u>0\}$ 上有 $\mu=\lambda$，并且 \\[ \lambda\nu_k(\Omega)\le\\|f\\|_{L^1(\nu_k)}. \\] 作为应用，我们证明向量 Dunkl-Riesz 变换 $\mathcal R_k=\nabla_k(-\Delta_k)^{-1/2}$ 是弱型 $(1,1)$ 的，且常数至多为 $(M_k+2)$，其中 \\[ M_k=\\#\{\alpha\in R_+:k(\alpha)>0\}. \\] 对于 $G$-不变函数，反射项消失，同样的论证给出通用常数 $2$。我们进一步建立了 Dunkl-Schrödinger Riesz 变换的无维弱型 $(1,1)$ 估计。
英文摘要：
Let $R\subset\mathbb{R}^d$ be a reduced root system, $G$ the associated finite reflection group, and $k\ge0$ a $G$-invariant multiplicity function. We develop a Dunkl analogue of the obstacle/partial-balayage method of Ouyang, Spector, and Stockdale (https://arxiv.org/abs/2608.18068) for the Euclidean fractional Laplacian. For $0<s<2$, nonnegative $f\in L^1(ν_k)\cap L^2(ν_k)$, and $λ>0$, we obtain a decomposition \[ f=μ+(-Δ_k)^{s/2}u, \qquad 0\leμ\leλ, \] with $μ=λ$ on $Ω=\{u>0\}$ and \[ λν_k(Ω)\le\|f\|_{L^1(ν_k)}. \] As an application, we prove that the vector Dunkl--Riesz transform $\mathcal R_k=\nabla_k(-Δ_k)^{-1/2}$ is of weak type $(1,1)$ with constant at most $(M_k+2)$, where \[ M_k=\#\{α\in R_+:k(α)>0\}. \] For $G$-invariant functions, the reflection terms vanish and the same argument gives the universal constant $2$. We further establish a dimension-free weak-type $(1,1)$ estimate for the Dunkl--Schrödinger Riesz transform.
