$J$-上升集在Coxeter群的抛物商中
$J$-ascent sets in parabolic quotients of Coxeter groups
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本文针对Coxeter群抛物商中的$J$-上升集，建立局部转移公式并证明其基数在右乘简单反射下的变化受限于$\max\{1,\deg(s)-1\}$。
中文摘要 AI 辅助
设$(W,S)$为一个Coxeter系统，且$J\subseteq S$。右$J$-上升集$$ A_R^J(w)=\{s\in S\mid ws\in{}^JW,\\ \ell(ws)=\ell(w)+1\} $$是经典上升集的一个自然细化，适用于抛物商${}^JW$。我们建立了一个局部转移公式，描述了$J$-上升集在右乘一个简单反射下的行为。作为推论，对于每个$w\in{}^JW$和每个$s\in A_R^J(w)$，我们证明$$ \Bigl||A_R^J(w)|-|A_R^J(ws)|\Bigr| \leq \max\{1,\text{deg}(s)-1\}. $$
英文摘要
Let $(W,S)$ be a Coxeter system and let $J\subseteq S$. The right $J$-ascent set $$ A_R^J(w)=\{s\in S\mid ws\in{}^JW,\ \ell(ws)=\ell(w)+1\} $$ is a natural refinement of the classical ascent set adapted to the parabolic quotient ${}^JW$. We establish a local transition formula describing the behaviour of $J$-ascent sets under right multiplication by a simple reflection. As a consequence, for every $w\in{}^JW$ and every $s\in A_R^J(w)$, we prove that $$ \Bigl||A_R^J(w)|-|A_R^J(ws)|\Bigr| \leq \max\{1,\text{deg}(s)-1\}. $$
