Leavitt 代数 $L_{\mathbb F_2}(1,2)$ 上的一般线性群和 Steinberg 群
General linear and Steinberg groups over the Leavitt algebra $L_{\mathbb F_2}(1,2)$
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文证明 Leavitt 代数 $L_{\mathbb F_2}(1,2)$ 上的一般线性群具有整数无环性，且 Steinberg 群到一般线性群的典范映射在秩至少为 3 时为同构，并给出其他环上的相应判据。
中文摘要 AI 辅助
设 $R=L_{\mathbb F_2}(1,2)$。我们证明对于每个 $r\geq1$，$\GL_r(R)$ 是整数意义上无环的，并且对于每个 $r\geq3$，典范映射 $\St_r(R)\to\GL_r(R)$ 是同构。同调计算结合了有序框架的同时扩张与有限域乘法群在其稳定化子上的标量作用。与同一框架复形相关的表示定义了 Steinberg 映射的满射截面。随后由 Krstić 和 McCool 定理得出 $R^\times$ 的显式有限表示。我们分别给出了其他环上无环性和 Steinberg 比较的判据。
英文摘要
Let $R=L_{\F_2}(1,2)$. We prove that $\GL_r(R)$ is integrally acyclic for every $r\geq1$ and that the canonical map $\St_r(R)\to\GL_r(R)$ is an isomorphism for every $r\geq3$. The unit group $R^\times$ is finitely presented, and we describe an explicit finite presentation. The homology calculation uses leaf coordinates, simultaneous extensions of ordered frames, and finite-field actions on stabilizers. The Steinberg argument lifts relations from a simply connected frame complex and refines coordinates. We also state separate criteria for the two arguments over rings of characteristic two.
