Pascal 三角形中的 Pascal 平铺与模 N 同余
Pascal tiling and congruences modulo N in Pascal's triangle
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中文总结 AI 辅助
本文研究 Pascal 三角形前 N 行经几何变换所得矩阵的同余性质，证明其构成 Pascal 平铺当且仅当 N 为素数，并由此给出 Lucas 数同余式的替代证明，同时探讨 Fibonacci 伪素数情形及对多项式系数的推广。
中文摘要 AI 辅助
我们研究了由 Pascal 三角形前 $N$ 行经几何变换得到的矩阵的性质。对于 $N > 2$，这些矩阵的同余性质构成一个 \u201cPascal 平铺\u201d，即条目在模 $N$ 下同余于 $0$ 与其余条目之间的完美交替，当且仅当 $N$ 为素数。这一结果给出了经典同余式 $L_N-1\equiv 0 \pmod{N}$（其中 $L_N$ 表示第 $N$ 个 Lucas 数）在 $N$ 为素数时的另一种证明。在 \u201cPascal 平铺定理\u201d 的框架下，该同余式可表示为所考虑矩阵之一的对角线上条目之和；当 $N$ 为素数时，这些条目中的每一个都同余于 $0 \pmod{N}$。相比之下，对于 Fibonacci 伪素数，该和仍同余于 $0 \pmod{N}$，但其至少有一项不同余于 $0$。最后，这些结果被解释为二项式系数的分解，并推广到多项式系数，从而引发对相关对称性的研究。这一视角凸显了 $N$ 为素数幂的情形，并阐明了 Pascal 平铺出现的条件。
英文摘要
We investigate the properties of matrices obtained from a geometric transformation of the first $N$ rows of Pascal's triangle. For $N > 2$, their congruence properties form a \emph{Pascal tiling}, that is, a perfect alternation between entries congruent to $0 \pmod{N}$ and the others, if and only if $N$ is prime. This result yields an alternative proof of the classical congruence $L_N-1\equiv 0 \pmod{N}$ for prime $N$, where $L_N$ denotes the $N$th Lucas number. Within the framework of the \emph{Pascal tiling theorem}, this congruence can be expressed as a sum of entries lying along a diagonal of one of the matrices under consideration; when $N$ is prime, each of these entries is congruent to $0 \pmod{N}$. By contrast, for Fibonacci pseudoprimes, the sum remains congruent to $0 \pmod{N}$ while at least one of its terms is not. Finally, these results are interpreted in terms of decompositions of binomial coefficients and extended to multinomial coefficients, leading to a study of the associated symmetries. This perspective highlights the case where $N$ is a prime power and clarifies the conditions under which a Pascal tiling arises.
