AI 中文总结
本文研究紧致海森堡流形上次拉普拉斯算子的谱计数函数余项，证明了新的上界和双侧下界，确定最优多项式阶为d，否证了Strichartz猜想。
AI 中文摘要
设\\(N_M(\lambda)\\)为紧致海森堡流形\\(M=\Gamma\backslash\mathbb H_d\\)上次拉普拉斯算子的谱计数函数，其中\\(\Gamma\\)是海森堡群\\(\mathbb H_d\\)的一个格子子群。2016年，Strichartz证明了带有余项\\(R_M(\lambda)=N_M(\lambda)-A_d\operatorname{vol}(M)\lambda^{d+1} = O_M(\lambda^d\log\lambda)\\)的Weyl定律，并猜想最优余项为\\(O_M(\lambda^d)\\)。在本工作中，我们建立了新的上界和第一个双侧下界：\\(R_M(\lambda)=O_M\\!\left(\lambda^d(\log\lambda)^{2/3}\right)\\)，以及\\(R_M(\lambda)=\Omega_{M,\pm}\\!\left(\lambda^d\log\log\lambda\right)\\)。由此可知，尖锐多项式阶为\\(d\\)，从而否证了Strichartz的猜想。
英文摘要
Let \(N_M(λ)\) be the spectral counting function of the sub-Laplacian on the compact Heisenberg manifold \(M=Γ\backslash\mathbb H_d\), where $Γ$ is a lattice subgroup of the Heisenberg group $\mathbb H_d$. In 2016, Strichartz \cite[\textit{J. Geom. Anal.}]{Str16} proved the Weyl law with remainder \(R_M(λ)=N_M(λ)-A_d\operatorname{vol}(M)λ^{d+1} = O_M(λ^d\logλ)\), and conjectured the optimal remainder to be \(O_M(λ^d)\). In this work, we establish a new upper bound and the first two-sided lower bounds $$ R_M(λ)=O_M\!\left(λ^d(\logλ)^{2/3}\right), \qquad R_M(λ)=Ω_{M,\pm}\!\left(λ^d\log\logλ\right). $$ As a result, this implies that the sharp polynomial order is $d$, and disproves Strichartz's conjecture.
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