Fefferman--Stein 型不等式：通过 Schrödinger 算子的面积函数与极大函数及其应用

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本文在分层李群 $\mathcal G$ 上建立了与 Schrödinger 算子 $\mathcal{L} = -\Delta + V$ 相关的面积函数和非切向极大函数形式的 Fefferman--Stein 不等式，其中 $\Delta$ 表示 $\mathcal G$ 上的次拉普拉斯算子，$V$ 是非负局部可积函数。作为应用，我们将此不等式推广到两个分层李群的张量积 $\mathcal G_1 \times \mathcal G_2$ 上，并为 Orlicz 空间 $L\log^{+}L(\mathcal G_1 \times \mathcal G_2)$ 中的函数发展了与 Schrödinger 算子相关的原子分解。利用这些原子分解，我们进一步证明了面积积分算子和与 Schrödinger 算子相关的 Riesz 变换在 $L\log^{+}L(\mathcal G_1 \times \mathcal G_2)$ 上的弱型端点估计，从而将 R. Fefferman 和 E.M. Stein 的著名结果推广到具有非光滑核的奇异积分情形。

英文摘要

In this paper, we establish a Fefferman--Stein inequality in terms of area function and non-tangential maximal function associated with the Schrödinger operator $\mathcal{L} = -Δ+ V$ on stratified Lie groups $\mathcal G$, where $Δ$ denotes the sub-Laplacian on $\mathcal G$ and $V$ is a nonnegative locally integrable function. As an application, we extend this inequality to the tensor product $\mathcal G_1 \times \mathcal G_2$ of two stratified Lie groups and develop atomic decompositions associated with the Schrödinger operator for functions in the Orlicz space $L\log^{+}L(\mathcal G_1 \times \mathcal G_2).$ Using these atomic decompositions, we further prove weak-type endpoint estimates for the area integral operator and the Riesz transforms associated with the Schrödinger operator on $L\log^{+}L(\mathcal G_1 \times \mathcal G_2),$ thereby extending the celebrated result of R.\,Fefferman and E.M.\,Stein \cite{FSt1982} to the setting of singular integrals with non-smooth kernels.

发表机构

• Macquarie University（麦考瑞大学）
• Sun Yat-sen (Zhongshan) University（中山大学）

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