相对 $(φ, Γ)$-模与 $p$-adic 微分方程
Relative $(φ, Γ)$-modules and $p$-adic differential equations
AI总结：
本文在仿射刚性解析空间上建立不完全相对周期环，证明平展相对 (φ,Γ)-模与 p-adic 局部系统的等价，并构造 de Rham 局部系统对应的 p-adic 微分方程，推广了 Berger 及 Andreatta--Brinon 的工作。
AI中文摘要：
设 $X$ 为 $p$-adic 域上的仿射刚性解析空间，配备到单位多圆盘的一个合适的平展映射。我们在 $X$ 上提供了 \textit{不完全相对周期环}的形式体系，这些环位于 Kedlaya--Liu 构造的相应完全相对周期环内部。然后我们建立了 Fontaine--Cherbonnier--Colmez 等价的一个相对版本，即 $X$ 上的 $p$-adic 局部系统与这些不完全相对周期环上的平展 $(\varphi, \Gamma)$-模之间的等价，推广了 Andreatta--Brinon 及其他人的先前工作。利用这一等价，我们构造了与 de Rham 局部系统相关的 $p$-adic 微分方程，这些方程同时携带几何与算术微分算子。这推广了 Berger 的工作到相对几何情形。在此过程中，我们研究了相对 Fontaine--Sen 理论，涉及相对 $\mathbf{B}_{\mathrm{dR}}^+$-周期环上 $\Gamma$-模的分解完备化。
英文摘要：
Let $X$ be an affinoid rigid analytic space over a $p$-adic field, equipped with a suitable étale map to a unit polydisk. We provide a formalism of \emph{imperfect relative period rings} over $X$, which lie inside the corresponding perfect relative period rings constructed by Kedlaya--Liu. Then we establish a relative version of the Fontaine--Cherbonnier--Colmez equivalence between $p$-adic local systems on $X$ and étale $(φ, Γ)$-modules over such imperfect relative period rings, generalizing previous works of Andreatta--Brinon and others. Using this equivalence, we construct $p$-adic differential equations attached to de Rham local systems, carrying both geometric and arithmetic differential operators. This generalizes the work of Berger to the relative geometric setting. Along the way, we study a relative Fontaine--Sen theory on the decompletion of $Γ$-modules over the relative $\mathbf{B}_{\mathrm{dR}}^+$-period rings.
