安全分布式矩阵乘法的函数表
Function Tables for Secure Distributed Matrix Multiplication
- Clemson University（克莱姆森大学）
- McMaster University（麦克马斯特大学）
- Centro de Investigación en Matemáticas（墨西哥数学研究中心）
- Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
- Universidad Autónoma de Zacatecas（萨卡特卡斯自治大学）
- University of South Florida（南佛罗里达大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文提出函数表表示安全分布式矩阵乘法中的系数函数，证明线性方案的最优工作节点数，并建立域可行性与MDS码存在性的等价关系。
AI中文摘要：
我们引入函数表，这是安全分布式矩阵乘法（SDMM）方案中工作节点响应中出现的系数函数的逐项表示。我们在外积划分下工作，有$K$个行块、$L$个列块，并在线性编码和线性解码的一般模型下，针对任意$T$个合谋工作节点提供隐私保护。在这种表示中，隐私是数据和掩码系数上的秩条件，可解码性是所需条目在干扰空间模意义下的线性无关性。次数表、循环加法表和代数几何构造是通过将系数函数限制到结构化族而得到的特例；我们不施加此类限制，因此我们的逆命题适用于所有线性方案。对于$T=1$，我们确定了在每个有限域$\mathbb{F}_q$上的精确最优值：当$q\geq3$时为$KL+K+L$，在$\mathbb{F}_2$上为$KL+K+L+1$，其中恒等式$z^2=z$迫使增加一个工作节点。对于任意$T$，我们证明$N\geq KL+K+L$和$N\geq\max\{K,L\}+T$，且对掩码没有MDS假设；当$\min\{K,L\}\geq2T$时，第一个界强于先前已知的界$KL+\max\{K,L\}+2T-1$。然后我们将域可行性精确归结为MDS存在性：在$\mathbb{F}_q$上存在方案当且仅当存在$[\max\{K,L\}+T,T]$线性MDS码，并且只要存在，笛卡尔构造就在同一域上达到$N=(K+T)(L+T)$。对于$T=2$，这使得$q\geq\max\{K,L\}+1$成为必要且充分条件，并且我们给出一个射影线构造，当$KL+K+L$整除$q-1$时达到$N=KL+K+L+2$；对于$K,L\geq2$，它匹配已知的最佳工作节点数，同时仅需要阶为$KL+K+L$的元素。
英文摘要：
We introduce function tables, an entrywise representation of the coefficient functions that appear in the worker responses of a secure distributed matrix multiplication (SDMM) scheme. We work under the outer-product partition, with $K$ row blocks, $L$ column blocks, and privacy against any $T$ colluding workers, in the general model of linear encoding and linear decoding. In this representation, privacy is a rank condition on the data and mask coefficients, and decodability is linear independence of the desired entries modulo the nuisance space. Degree tables, cyclic-addition tables, and algebraic-geometry constructions are the special cases obtained by restricting the coefficient functions to a structured family; we impose no such restriction, so our converses bind every linear scheme. For $T=1$, we determine the exact optimum over every finite field $\mathbb{F}_q$: it is $KL+K+L$ when $q\geq3$, and $KL+K+L+1$ over $\mathbb{F}_2$, where the identity $z^2=z$ forces one more worker. For arbitrary $T$, we prove $N\geq KL+K+L$ and $N\geq\max\{K,L\}+T$ with no MDS hypothesis on the masks; the first is stronger than the previously known bound $KL+\max\{K,L\}+2T-1$ whenever $\min\{K,L\}\geq2T$. We then reduce field feasibility exactly to MDS existence: a scheme exists over $\mathbb{F}_q$ if and only if an $[\max\{K,L\}+T,T]$ linear MDS code does, and whenever it does, a Cartesian construction attains $N=(K+T)(L+T)$ over that same field. For $T=2$ this makes $q\geq\max\{K,L\}+1$ necessary and sufficient, and we give a projective-line construction with $N=KL+K+L+2$ whenever $KL+K+L$ divides $q-1$; for $K,L\geq2$ it matches the best known worker count while requiring only an element of order $KL+K+L$.
