具有有限全曲率和嵌入端的 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中的极小曲面
Minimal surfaces in $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ with finite total curvature and embedded ends
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中文总结 AI 辅助
本文研究 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中具有嵌入端和有限全曲率的完备极小曲面，分类了全曲率为 $-4\pi$ 和 $-6\pi$ 的渐近边界，并通过渐近 Plateau 问题构造了新的极小曲面族。
中文摘要 AI 辅助
本文研究了乘积空间 $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$ 中具有嵌入端和有限全曲率的完备极小曲面的整体几何与分类。我们描述了此类曲面嵌入端的结构，约束了其在无穷远处渐近多边形的组合性质。聚焦于较小的全曲率值，我们建立了具有全曲率 $-4\pi$ 和 $-6\pi$ 的嵌入极小曲面可能渐近边界的完整分类。在 $-4\pi$ 情形下，我们证明曲面要么是水平悬链面，要么是单连通的，且其渐近边界属于四种显式构型之一。在 $-6\pi$ 情形下，我们证明任何嵌入例子都必须是单连通的，并分类了其可能的理想边界。我们进一步通过由面积极小曲面和连续 Schwarz 反射求解的渐近 Plateau 问题，构造了新的 1 参数和 2 参数族的（可能非嵌入的）单连通极小曲面，其全曲率为 $-6\pi$（更一般地，$-2(2k-1)\pi$），这些曲面的端是嵌入的，并实现了先前未知的渐近构型。
英文摘要
In this paper we study the global geometry and classification of complete minimal surfaces with embedded ends and finite total curvature in the product space $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$. We describe the structure of embedded ends of such surfaces, constraining the combinatorics of their asymptotic polygons at infinity. Focusing on small total curvature values, we establish a complete classification of the possible asymptotic boundaries for embedded minimal surfaces with total curvature $-4π$ and $-6π$. In the $-4π$ case, we prove the surface is either a horizontal catenoid or simply-connected, with asymptotic boundary belonging to one of four explicit configurations. In the $-6π$ case, we show that any embedded example must be simply-connected and classify its possible ideal boundaries. We further construct, via an asymptotic Plateau problem solved by area-minimizing surfaces and successive Schwarz reflections, new 1- and 2-parameter families of (possibly non-embedded) simply-connected minimal surfaces with total curvature $-6π$ (and, more generally, $-2(2k-1)π$) whose ends are embedded and realize asymptotic configurations not previously known to occur.
发表机构
- Universidad Politécnica de Madrid（马德里理工大学）
- Universidad de Granada（格拉纳达大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
