逆向Heinz型不等式、Mather β函数与系数估计
Reverse Heinz type inequality, Mather beta function and coefficient estimates
- University of Belgrade, Faculty of Mathematics（贝尔格莱德大学数学系）
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AI总结：
本文证明了一个逆向Heinz型不等式，否证了Hall猜想，并揭示了其与Mather β函数及椭圆台球理论的联系。
AI中文摘要：
本文证明了对于两个按循环顺序排列的单位模复数序列$(\xi_j)_{j=1}^{n}$和$(\zeta_j)_{j=1}^{n}$，当$n\geqslant 4$时，不等式$$\bigg|\sum_{m=1}^{n}(\xi_{m+1}-\xi_m)\zeta_m\bigg|^2+ \bigg|\sum_{m=1}^{n}(\xi_{m+1}-\xi_m)\zeta_m^{-1}\bigg|^2\leqslant 4n^2\sin^2\frac{\pi}{n}$$成立。作为推论，当$n=4$时，我们否证了Hall关于单位圆盘调和自映射的Heinz型不等式的猜想。文中还将给出通过Mather β函数与椭圆台球理论的联系。
英文摘要：
In this paper, we prove that for two cyclically ordered sequences of complex numbers of unit modulus $(ξ_j)_{j=1}^{n}$ and $(ζ_j)_{j=1}^{n}$ the inequality: $$\bigg|\sum_{m=1}^{n}(ξ_{m+1}-ξ_m)ζ_m\bigg|^2+ \bigg|\sum_{m=1}^{n}(ξ_{m+1}-ξ_m)ζ_m^{-1}\bigg|^2\leqslant 4n^2\sin^2\fracπ{n}$$ holds for $n\geqslant 4$. As a consequence, for $n=4,$ we disprove Hall's conjecture on Heinz type inequality for harmonic self-mappings of the unit disk. The connection with the theory of elliptic billiards via the Mather beta function will also be given.
