发表机构
University of St Andrews; Hong Kong University of Science and Technology（圣安德鲁斯大学; 香港科技大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文在 $\mathbb{Z}_2^n$ 中建立了 Lev 定理的类比 majorization 定理，通过压缩论证优化加法表示计数，解决了加法 $k$ 元组计数极值问题，并推广了 Pollard 及 Bollobás-Leader 定理。
AI 中文摘要
Majorization 是比较两个向量各分量“分散程度”的基本工具。Hardy、Littlewood 和 Pólya 针对整数情形，Lev 针对 $\mathbb{Z}_p$ 情形获得了关键的 majorization 结果。在本文中，我们在 $\mathbb{Z}_2^n$ 中建立了一个强大的 majorization 定理，它是 Lev 在 $\mathbb{Z}_p$ 中结果的类比。我们的证明基于对压缩论证的新颖运用，该论证优化了某些加法表示计数之和。我们的 majorization 定理在加法组合学中有多个应用。我们解决了如下问题：给定指定大小的子集 $A_1,\ldots,A_k\subseteq\mathbb{Z}_2^n$，何时函数 $r_k(A_1,\ldots,A_k)$（计数 $A_1\times\cdots\times A_k$ 中加法 $k$ 元组的数量）达到最大值？我们建立了相应的最小值结果，并在 $k$ 为奇数时给出了 $r_k(A,\ldots,A)$ 所有极值元的刻画。当 $k=3$ 时，该数量即为 $A$ 中 Schur 三元组的数量；作为特例，我们恢复了 Samotij 和 Sudakov 关于 Schur 三元组的定理。我们还获得了一个凸性不等式，并用它证明了 Pollard 定理的一个类比，该类比在 $\mathbb{Z}_2^n$ 背景下加强并推广了 Bollobás 和 Leader 的一个著名结果。
英文摘要
Majorization is a fundamental tool for comparing how "spread out" the entries of two vectors are. Key majorization results were obtained for the integers by Hardy, Littlewood and Pólya and for $\mathbb{Z}_p$ by Lev. In this paper, we establish a powerful majorization theorem in $\mathbb{Z}_2^n$ that is an analogue of Lev's result in $\mathbb{Z}_p$. Our proof is based on a novel use of a compression argument that optimizes certain sums of additive representation counts. Our majorization theorem has several applications in additive combinatorics. We resolve the question: given subsets $A_1,\ldots,A_k\subseteq\mathbb{Z}_2^n$ of prescribed sizes, when is the function $r_k(A_1,\ldots,A_k)$, which counts the number of additive $k$-tuples in $A_1\times\cdots\times A_k$, maximized? We establish the corresponding minimization result and a characterization of all extremizers for $r_k(A,\ldots,A)$ when $k$ is odd. When $k=3$, this quantity is the number of Schur triples in $A$; as a special case, we recover a theorem of Samotij and Sudakov on Schur triples. We also obtain a convexity inequality and use it to prove an analogue of Pollard's theorem that strengthens and extends a well-known result of Bollobás and Leader in the $\mathbb{Z}_2^n$ setting.
Comments20 pages
