马尔可夫链中心极限定理：解决开放问题
Markov Chain CLTs: Resolving Open Problems
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中文总结 AI 辅助
本文解决了Häggström和Rosenthal提出的七个开放问题，证明了可逆链方差极限条件、非紧致性及Roberts条件排除CLT，并建立傅里叶系数与自协方差的一般原理。
中文摘要 AI 辅助
马尔可夫链中心极限定理（CLT）及其相关方差对于实现马尔可夫链蒙特卡洛算法等应用非常重要。Häggström 和 Rosenthal（2007）提出了关于该方差不同公式相等性的各种结果，并提出了七个开放问题。我们在本文中解决了全部七个问题。对于平稳、遍历且可逆的链，我们证明：只要归一化部分和满足 $\sqrt{n}$-CLT，则当函数平方可积时方差极限有限，否则方差极限未定义。此外，$\sqrt{n}$-CLT 的失效会迫使归一化部分和非紧致。我们还表明，即使不假设可逆性或平方可积性，Roberts 的保持概率条件也会排除 CLT 的存在。最后，我们发展了一个一般原理，将傅里叶系数表示为遍历非可逆马尔可夫链的自协方差。
英文摘要
Markov chain central limit theorems (CLTs) and their associated variances are very important for implementing Markov chain Monte Carlo algorithms among other applications. Häggström and Rosenthal (2007) presented various results regarding the equality of different formulae for this variance and also posed seven open problems. We resolve all seven in this paper. For stationary, ergodic and reversible chains, we prove that whenever the normalized partial sums satisfy a $\sqrt{n}$-CLT, the variance limit is finite if the function is square-integrable, otherwise undefined. Moreover, failure of the $\sqrt{n}$-CLT forces the normalized partial sums to be non-tight. We also show that Roberts' holding-probability condition precludes a CLT even without assuming reversibility or square-integrability. Finally, we develop a general principle that expresses Fourier coefficients as the autocovariances of an ergodic nonreversible Markov chain.
发表机构
- Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
- University of Toronto（多伦多大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
