AI 中文总结
本文研究 Artin-Hasse 指数的加权 $p$-截断卷积，证明并推广 Avitabile-Mattarei 猜想，得到基 $p$ 数字公式和 $p$-自动性，并通过 $p$-进不动点迭代与 Big-Witt 重构实现系数的精确恢复。
AI 中文摘要
设 $p$ 为奇素数，$a_n$ 为 Artin-Hasse 指数第 $n$ 个系数模 $p$ 的约化。我们研究由系数 $a_{kp}$ 构成的加权 $p$-截断卷积 $W_k$。我们证明了 Avitabile 和 Mattarei 关于 $1<k<p$ 的猜想，并将其推广为确定整个序列 $(W_k)_{k\geq 0}$ 的单一全局幂级数恒等式。该恒等式给出了显式的基 $p$ 数字公式；特别地，$(W_k)$ 是 $p$-自动的，并具有显式的有限状态求值器。独立地，精确的共轭 $p$-截断方程给出了 $p$-截断对数导数的严格 $p$-进不动点迭代。然后，Big-Witt 重构通过纯模过程以任意指定的 $p$-进精度恢复 $p$-截断，从而恢复 Artin-Hasse 指数的所有系数。
英文摘要
Let $p$ be an odd prime, and let $a_n$ be the reduction modulo $p$ of the $n$th coefficient of the Artin-Hasse exponential. We study the weighted $p$-section convolutions $W_k$ formed from the coefficients $a_{kp}$. We prove the conjecture of Avitabile and Mattarei for $1<k<p$ and extend it to a single global power-series identity determining the entire sequence $(W_k)_{k\geq 0}$. This identity yields an explicit base-$p$ digit formula; in particular, $(W_k)$ is $p$-automatic and admits an explicit finite-state evaluator. Independently, the exact conjugated $p$-section equation gives a strict $p$-adic fixed-point iteration for the logarithmic derivative of the $p$-section. Big-Witt reconstruction then recovers the $p$-section, and hence all coefficients of the Artin-Hasse exponential, to arbitrary prescribed $p$-adic precision by a purely modular procedure.
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