发表机构
İzmir Institute of Technology（伊兹密尔理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造反例，证明对任意实数α>1，存在不可数个ξ>0，使得序列(ξα^n)的谱包含同一个不可数集合，从而推翻Bugeaud专著中问题10.4关于谱至多可数的断言。
AI 中文摘要
在本文中，我们针对 Bugeaud 的专著《模一分佈与丢番图逼近》中问题 10.4 的断言给出了一个反例，该问题可追溯至 Mendès France。该问题指出，序列 $(\xi\alpha^n)_{n\ge1}$ 的谱，即使得 $(\xi\alpha^n-n\theta)_{n\ge1}$ 不是模一均匀分布的所有无理数 $\theta\in(0,1)$ 的集合，对于所有实数 $\xi\ne0$ 和 $\alpha>1$ 至多是可数的。更精确地，我们证明对于每个实数 $\alpha>1$，存在 $2^{\aleph_0}$ 个实数 $\xi>0$，使得 $(\xi\alpha^n)_{n\ge1}$ 的谱包含同一个不可数集合。
英文摘要
In this note, we give a counterexample to the assertion of Problem 10.4 in Bugeaud's monograph Distribution modulo one and Diophantine approximation, which goes back to Mendès France. The problem states that the spectrum of the sequence $(ξα^n)_{n\ge1}$, that is, the set of irrational $θ\in(0,1)$ for which $(ξα^n-nθ)_{n\ge1}$ is not uniformly distributed modulo one, is at most countable for all real $ξ\ne0$ and $α>1$. More precisely, we prove that for every real $α>1$ there are $2^{\aleph_0}$ real numbers $ξ>0$ for which the spectrum of $(ξα^n)_{n\ge1}$ contains one and the same uncountable set.
