发表机构
Université de Lorraine, CNRS, IECL（洛林大学、法国国家科学研究中心、IECL）
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本文回顾广义与几何KPZ方程链式法则的最新结果，通过B级数展开引入正则结构，用多指标与装饰树分别刻画，后者需operadic与同调工具，并总结证明要点。
AI 中文摘要
在这些讲义中，我们回顾了关于广义KPZ方程和几何KPZ方程的链式法则的最新结果。我们通过B级数型展开介绍了正则结构的主要思想，以及用于编码该展开的两个主要组合集合：装饰树和多指标。然后，我们解释了链式法则最初是如何通过分部积分和图表计算来理解的。对于广义KPZ方程（一个标量值方程），我们使用多指标推导出关于协变导数迭代的刻画。对于装饰树的相同刻画更为复杂，需要使用operadic和同调工具。我们总结了该证明的主要论证。
英文摘要
In these lecture notes, we review the recent results around the chain rule for the generalised KPZ equation and the geometric KPZ equation. We introduce the main ideas of Regularity Structures via a B-series type expansion and the two main combinatorial sets for encoding this expansion: decorated trees and multi-indices. Then, we explain how the chain rule was first understood via integration by parts and diagrammatic computations. For the generalised KPZ equation, a scalar-valued equation, we use multi-indices to derive a characterisation in terms of iterations of covariant derivatives. The same characterisation for decorated trees is more involved and requires the use of operadic and homological tools. We summarise the main arguments of this proof.
Comments34 pages
