Pozhidaev 与 Cantarini--Kac 简单 $n$-李代数的构造：区别与实现

中文摘要 AI 辅助

设 $n\geq 3$，$H\subseteq\mathbb{C}^n$ 为张成 $\mathbb{C}^n$ 的任意加法子群，且 $0\ne t\in H$。我们在不对 $H$ 作有限生成或离散性假设的情况下，研究 Pozhidaev 的中心单 $n$-李代数 $P(H,t)=\widetilde{\mathcal A}(H,t)/\mathbb{C}e_0$。其内导子代数是简单的广义无散度李代数 $\mathcal S(0,0,n;t,H)$。我们证明其内等变对称积空间为零，且每个 $1/n$-导子是恒等映射的标量倍。利用这些不变量，我们证明 $P(H,t)$ 不同构于任何定义在 Cantarini 和 Kac 所记录的 $S$、$W$ 或 $SW$ 构造的底空间上的简单非交换 $n$-李代数。我们还证明 $P(H,t)$ 是 $\mathbb{C}[H]$ 上一个显式 $S$-代数的导出代数的商（模去常数）。最后，我们将 Pozhidaev 的第二个构造 $E(H)$ 在 $\mathbb{C}$ 上实现为 $W$-代数。

英文摘要

Let $n\geq 3$, let $H\subseteq\mathbb{C}^n$ be any additive subgroup spanning $\mathbb{C}^n$, and let $0\ne t\in H$. We study Pozhidaev's central simple $n$-Lie algebra $P(H,t)=\widetilde{\mathcal A}(H,t)/\mathbb{C}e_0$ without a finite generation or discreteness assumption on $H$. Its inner derivation algebra is the simple generalized divergence-free Lie algebra $\mathcal S(0,0,n;t,H)$. We prove that its space of inner-equivariant symmetric products vanishes and that every $1/n$-derivation is a scalar multiple of the identity. Using these invariants, we show that $P(H,t)$ is not isomorphic to any simple nonabelian $n$-Lie algebra defined on the underlying spaces of the $S$, $W$, or $SW$ constructions recorded by Cantarini and Kac. We also show that $P(H,t)$ is the quotient by the constants of the derived algebra of an explicit $S$-algebra on $\mathbb{C}[H]$. Finally, we realize Pozhidaev's second construction $E(H)$ over $\mathbb{C}$ as a $W$-algebra.

发表机构

• School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University（东北师范大学数学与统计学院）
• Institute for Advanced Study in Mathematics, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学数学高等研究院）
• Suzhou Research Institute, Harbin Institute of Technology（哈尔滨工业大学苏州研究院）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。