发表机构
Princeton（普林斯顿大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出度量空间间Lipschitz函数的de-Höldering分解概念，通过构造此类分解并利用永久性性质，解决了Ball的1992年问题，改进了图稀疏化与Lipschitz扩展模量的已知界。
AI 中文摘要
我们研究度量空间之间 Lipschitz 函数的一种分解概念，其中这样的函数被写成 Hölder 函数与一个适当“撤销”Hölder 正则性的函数的复合。我们展示了构造这种“de-Höldering”分解的简单方法。如果度量空间 $\mathcal{M}$ 上的恒等映射通过一个具有锥形测地线双组合的度量空间 $\mathcal{Z}$ 允许 de-Höldering 分解，那么可以扩展 $\mathcal{Z}$ 值 Lipschitz 函数的度量空间类被证明包含在相应的 $\mathcal{M}$ 值 Lipschitz 函数的度量空间类中。作为这些抽象永久性性质的快速推论，我们推导出从 $\ell_2$ 的子集到 $L_1$ 的每个 Lipschitz 函数都可以扩展为定义在整个 $\ell_2$ 上且取值于 $L_1$ 的 Lipschitz 函数，回答了 Ball 在 1992 年提出的一个问题。根据 Makarychev 和 Makarychev 的工作，这意味着每个加权图都有一个大小为 $n$、质量为 $O(\sqrt{\log n})$ 的顶点切割稀疏化器，改进了 Moitra 在 2009 年的界。我们还证明了对于每个具有锥形测地线双组合的度量空间 $\mathcal{Z}$，度量空间 $\mathcal{M}$ 的任何度量变换的 $\mathcal{Z}$ 值 Lipschitz 扩展模量至多是 $\mathcal{M}$ 本身的 $\mathcal{Z}$ 值 Lipschitz 扩展模量的一个通用常数倍，改进了 Brudnyi 和 Shvartsman 在 2002 年的界。
英文摘要
We study a factorization notion for Lipschitz functions between metric spaces in which such a function is written as a composition of a Hölder function and a function that suitably ``undoes'' the Hölder regularity. We show simple ways to construct such ``de-Höldering'' factorizations. If the identity mapping on a metric space $\mathcal{M}$ admits a de-Höldering factorization through a metric space $\mathcal{Z}$ that has a conical geodesic bicombing, then the class of metric spaces from which one can extend $\mathcal{Z}$-valued Lipschitz functions is shown to be contained in the corresponding class of metric spaces for $\mathcal{M}$-valued Lipschitz functions. As a quick consequence of these abstract permanence properties, we deduce that every $L_1$-valued Lipschitz function from a subset of $\ell_2$ can be extended to a Lipschitz function that takes values in $L_1$ and is defined on all of $\ell_2$, answering a 1992 question of Ball. By work of Makarychev and Makarychev, this implies that every weighted graph has a vertex cut sparsifier of size $n$ and quality $O(\sqrt{\log n})$, improving Moitra's 2009 bound. We also show that for every metric space $\mathcal{Z}$ that has a conical geodesic bicombing, any metric transform of a metric space $\mathcal{M}$ has $\mathcal{Z}$-valued Lipschitz extension modulus at most a universal constant multiple of the $\mathcal{Z}$-valued Lipschitz extension modulus of $\mathcal{M}$ itself, improving the 2002 bound of Brudnyi and Shvartsman.
Commentsadded in proof describes forthcoming answers to questions that are posed herein
