分数阶与对数亥姆霍兹方程解的等价性
The equivalence of solutions to fractional and logarithmic Helmholtz equations
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中文总结 AI 辅助
本文证明分数阶亥姆霍兹方程的解对某个s成立等价于对所有s≠0成立，并等价于对数亥姆霍兹方程的解，适用于巴拿赫空间中的一般算子，并给出傅里叶变换不可用时的多个应用实例。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了如下一般分数阶亥姆霍兹方程解的等价性：$u$ 是方程 $A^su=\lambda^su$ 对\textit{某个}固定的 $0<s<2$ 和某个 $\lambda>0$ 的解，当且仅当 $u$ 是同一方程对\textit{所有} $s\neq0$ 的解。此外，我们还证明 $u$ 等价地求解对数亥姆霍兹方程 $\log(A)u=(\log\lambda)u$。这里，$A$ 是巴拿赫空间 $X$ 上的非负线性算子。特别地，当 $A=-L$ 时，其中 $L$ 是巴拿赫空间 $X$ 中满足应用中典型的温和假设的 $C_0$-半群的无穷小生成元，我们的结果成立。作为特例，我们恢复了 $\mathbb{R}^n$ 中分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ 的已知结果。更重要的是，我们提供了在傅里叶变换不可用的设置中其他分数幂算子的一系列例子，我们的定理适用于这些算子。这些例子包括有界域中二阶椭圆算子的分数幂和对数、黎曼流形上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子、时空主方程、离散拉普拉斯算子和分数阶导数。
英文摘要
We show the following equivalence of solutions to general fractional Helmholtz equations: $u$ is a solution to $$A^su=λ^su$$ for \textit{some} fixed $0<s<2$ and some $λ>0$ if and only if $u$ is a solution to the same equation for \textit{all} $s\neq0$. Furthermore, we show as well that $u$ equivalently solves the logarithmic Helmholtz equation $$\log(A)u=(\logλ)u.$$ Here, $A$ is a nonnegative, linear operator on a Banach space $X$. In particular, our results hold whenever $A=-L$, where $L$ is the infinitesimal generator of a $C_0$-semigroup in a Banach space $X$ satisfying mild assumptions that are typical in applications. As a particular case, we recover known results for the fractional Laplacian $(-Δ)^s$ in $\mathbb{R}^n$. More importantly, we provide a list of examples of other fractional power operators in settings where the Fourier transform is not available and for which our theorems apply. These include fractional powers and logarithms of second order elliptic operators in bounded domains, Laplace--Beltrami operators on Riemannian manifolds, space-time master equations, the discrete Laplacian, and fractional derivatives.
发表机构
- Missouri State University（密苏里州立大学）
- Iowa State University（爱荷华州立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
