发表机构
Université Paris-Panthéon-Assas; CRED Paris; Université Paris Cité; CNRS; IRIF; DIENS; École normale supérieure; PSL University（巴黎先贤祠-阿萨斯大学; 巴黎经济与社会研究中心; 巴黎西岱大学; 法国国家科学研究中心; 信息与随机研究所; 高等师范学院计算研究实验室; 巴黎高等师范学院; 巴黎文理研究大学）
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本文研究竞赛图的有向团数判定问题，证明对k≥3判定有向团数≤k是NP完全的，并给出区分有向团数≤2与>100的多项式算法，同时构造新的χ-有界竞赛图并反驳若干猜想，最后给出临界竞赛图的无限族。
AI 中文摘要
竞赛图 $T$ 的有向团数 $\vec{\omega}(T)$ 是，在所有对 $T$ 的顶点排序中，以该排序下指向后方的弧为边构成的图的团数的最小值。本文证明，对每个整数 $k \geq 3$，判定 $\vec{\omega}(T) \leq k$ 是否为 NP 完全问题。这回答了 Nguyen、Scott 和 Seymour 的一个问题，并与经典无向情形形成对比：在无向情形中，对每个固定整数 $k$，判定 $\omega(G) \leq k$ 可在多项式时间内解决。另一方面，我们给出一个多项式时间算法，区分满足 $\vec{\omega}(T) \leq 2$ 的竞赛图与满足 $\vec{\omega}(T) > 100$ 的竞赛图。我们还研究了 Gyárfás--Sumner 猜想的竞赛图类比。我们构造了新的 $\vec{\chi}$-有界竞赛图，从而证明了 Aboulker、Aubian、Charbit 和 Lopes 的一个猜想，该猜想断言每个有界 twin-width 的竞赛图类都是 $\vec{\chi}$-有界的。接着，我们展示了新的非 $\vec{\chi}$-有界竞赛图，反驳了 Aboulker、Aubian、Charbit 和 Lopes 的另一个猜想，以及 Kim 的两个猜想。最后，我们给出了 3-$\vec{\omega}$-临界和 4-$\vec{\omega}$-临界竞赛图的无限族。
英文摘要
The directed clique number $\vecω(T)$ of a tournament $T$ is the minimum, over all orderings of the vertices of $T$, of the clique number of the graph whose edges are the arcs that point backward with respect to the ordering. In this paper, we prove that, for every integer $k \geq 3$, deciding whether $\vecω(T) \leq k$ is NP-complete. This answers a question of Nguyen, Scott, and Seymour, and contrasts with the classical undirected setting, where deciding whether $ω(G) \leq k$ is polynomial-time solvable for every fixed integer $k$. On the other hand, we give a polynomial-time algorithm distinguishing tournaments with $\vecω(T) \leq 2$ from those with $\vecω(T) > 100$. We also study the tournament analogue of the Gyárfás--Sumner conjecture. We construct new $\vecχ$-bounding tournaments and thereby prove a conjecture of Aboulker, Aubian, Charbit, and Lopes stating that every class of tournaments with bounded twin-width is $\vecχ$-bounded. We then exhibit new tournaments that are not $\vecχ$-bounding, disproving another conjecture of Aboulker, Aubian, Charbit, and Lopes, as well as two conjectures of Kim. Finally, we present infinite families of 3-$\vecω$-critical and 4-$\vecω$-critical tournaments.
