发表机构
South China University of Technology; School of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University（华南理工大学; 湖南师范大学数学与统计学院）
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本文研究具有 $p$ 数字的自仿测度的谱性质，给出了正交基的充分条件及整数矩阵使两个指数族均为正交基的充要条件，并刻画了第二类谱特征矩阵的充要条件。
AI 中文摘要
对于素数 $p > 2$，设 $\bm{0} \in D \subset \mathbb{Z}^n$ 是一个 $p$ 元素数字集，满足 $\mathcal{Z}(\widehat{\delta}_D) =\cup_{j=1}^{p-1}(\frac{j}{p}\bm{a}+\mathbb{Z}^{n})$，其中 $\bm{a} \in \{ (i_1, \dots, i_n)^t: i_k \in [1, p-1] \cap \mathbb{Z}, 1\leq k\leq n \}$，这里 $\mathcal{Z}(\widehat{\delta}_D)$ 是 $\delta_D$ 的傅里叶变换的零点集。设 $Q$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的整数扩张对角矩阵，自仿测度 $\mu_{Q,D}$ 定义为 $\mu_{Q,D}(\cdot) = \frac{1}{\\#D} \sum_{d \in D} \mu_{Q,D}(Q(\cdot) - d)$。在本文中，我们首先给出当 $Q = p\operatorname{diag}[q, \dots, q]$ 且 $q\geq 1$ 时，最大正交族 $E_{\Lambda}=\{ e^{-2\pi i \langle \lambda, x \rangle}: \lambda\in \Lambda \subset\mathbb{R}^{n}\}$ 成为 $L^2(\mu_{Q,D})$ 的正交基的充分条件。然后我们得到整数矩阵 $R$ 使得 $E_{\Lambda}$ 和 $E_{R\Lambda}$ 均为 $L^{2}(\mu_{Q,D})$ 的正交基的充分必要条件。进一步，对于 $Q = p\operatorname{diag}[l_1, \dots, l_n]$ 且 $|l_1 \dots l_n| > 1$，我们给出实对角矩阵是 $\mu_{Q,D}$ 的第二类谱特征矩阵的充分必要条件。
英文摘要
For a prime number $p > 2$, let $\bm{0} \in D \subset \mathbb{Z}^n$ be a $p$-element digit set satisfying $ \mathcal{Z}(\widehatδ_D) =\cup_{j=1}^{p-1}(\frac{j}{p}\bm{a}+\mathbb{Z}^{n}) $ for some \( \bm{a} \in \{ (i_1, \dots, i_n)^t : i_k \in [1, p-1] \cap \mathbb{Z}, 1\leq k\leq n \} \), where $\mathcal{Z}(\widehatδ_D)$ is the zero set of the Fourier transform of $δ_D$. Let $Q$ be an integer expansive diagonal matrix in $\mathbb{R}^{n}$, the self-affine measure $μ_{Q,D}$ is defined by \[ μ_{Q,D}(\cdot) = \frac{1}{\#D} \sum_{d \in D} μ_{Q,D}(Q(\cdot) - d). \] In this paper, we first provide sufficient condition for a maximal orthogonal family $E_Λ=\{ e^{-2πi \langle λ, x \rangle} : λ\in Λ\subset\mathbb{R}^{n}\}$ to be an orthogonal basis of $L^2(μ_{Q,D})$ when $Q = p\operatorname{diag}[q, \dots, q]$ with $q\geq 1$. Then we obtain necessary and sufficient conditions for the integer matrix $R$ such that $E_Λ$ and $E_{RΛ}$ are both orthogonal basis of $L^{2}(μ_{Q,D})$. Furthermore, for $Q = p\operatorname{diag}[l_1, \dots, l_n]$ with $|l_1 \dots l_n| > 1$, we give a necessary and sufficient condition under which the real diagonal matrix is the second type spectral eigenmatrices of $μ_{Q,D}$.
