发表机构
Sichuan University; Fudan University; Capital Normal University（四川大学; 复旦大学; 首都师范大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究不含k个两两LCM相同的整数子集的最大调和和，证明其指数为良定义的γ_k，通过加权无向日葵族给出变分公式，并推导出有限块公式，恢复Tang–Zhang界并给出γ_3的数值范围。
AI 中文摘要
固定$k\ge 3$，设$f_k(N)$为$[N]$中不含$k$个具有公共两两最小公倍数的不同整数的最子集的最大调和和。我们证明$f_k(N)=(\log N)^{\gamma_k+o(1)}$，其中指数$\gamma_k\in(0,1]$是良定义的。遵循Chojecki的加权压力思想，我们给出了关于$\gamma_k$的变分公式的自包含证明，该公式以加权无向日葵族（sunflower-free families）表示。然后我们消除连续权重：若$M_k(n,r)$是$[n]$上$r$-均匀$k$-共向日葵-free族（cosunflower-free family）的最大大小，则\\[ \gamma_k=\sup_{n\ge1,\\ 1\le r\le n}\frac{r}{en}M_k(n,r)^{1/r}. \\] 这个有限块公式产生了从均匀集系统构造的直接传递原理，恢复了Tang–Zhang界，并给出$0.438899\ldots<\gamma_3\le0.889881\ldots$。
英文摘要
Fix $k\ge 3$, and let $f_k(N)$ be the largest harmonic sum of a subset of $[N]$ containing no $k$ distinct integers with a common pairwise least common multiple. We prove that $f_k(N)=(\log N)^{γ_k+o(1)}$ for a well-defined exponent $γ_k\in(0,1]$. Following the weighted-pressure idea of Chojecki, we give a self-contained proof of variational formulas for $γ_k$ in terms of weighted sunflower-free families. We then eliminate the continuous weight: if $M_k(n,r)$ is the largest size of an $r$-uniform $k$-cosunflower-free family on $[n]$, then \[ γ_k=\sup_{n\ge1,\ 1\le r\le n}\frac{r}{en}M_k(n,r)^{1/r}. \] This finite-block formula yields a direct transfer principle from uniform set-system constructions, recovers the Tang--Zhang bounds, and gives $0.438899\ldots<γ_3\le0.889881\ldots$.
Comments9 pages
