发表机构
Nagoya Institute of Technology; Hosei University（名古屋工业大学; 法政大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文确定了仙人掌图上最大互可见集的大小，并提出了两种自稳定构造算法，分别具有不同的轮复杂度保证。
AI 中文摘要
给定图 $G=(V,E)$，设 $S$（$\subseteq V$）为顶点集合。若两个顶点之间存在一条不包含 $S$ 中任何其他顶点的最短路径，则称它们为\emph{互可见}的。集合 $S$ 是\emph{互可见集}（\MVS），如果 $S$ 中任意两个顶点都是互可见的。图中 \MVS 的概念自提出以来引起了广泛关注，因为它提供了图的重要结构性质。然而，在一般图中确定最大 \MVS 在计算上是棘手的；关于图是否具有大小至少为 $k$ 的 \MVS 的判定问题已被证明是\emph{NP-完全}的。因此，先前的工作集中于寻找极大 \MVS 或将注意力限制在特定图类上。仙人掌图构成了一类基本的低树宽图类，但该类上的最大 \MVS 问题仍然悬而未决。在本文中，我们首先确定了仙人掌图中最大 \MVS 的大小，并引入了两种自稳定算法来构造这样的集合。第一种算法使用单个 BFS 树，在 $O(D)$ 轮内稳定，每个进程平均使用 $O(\log n)$ 位；第二种算法使用并行 BFS 树，在 $O(|C_{\max}|+|T_{\max}|)$ 轮内稳定，我们证明这在作为这两个参数的函数意义上是渐近紧的，即使在满足 $|C_{\max}|+|T_{\max}| = o(D)$ 的图上也是如此。
英文摘要
Given a graph $G=(V,E)$, let $S$ ($\subseteq V$) be a set of vertices. Two vertices are \emph{mutually visible} if there exists a shortest path in $G$ between them that does not contain any other vertex of $S$. A set $S$ is a \emph{Mutual Visibility Set} (\MVS) if every pair of vertices in $S$ is mutually visible. The concept of \MVS s in graphs has attracted significant attention since its introduction, as it provides an important structural property of graphs. However, determining a maximum \MVS\ in general graphs is computationally intractable; the decision problem of whether a graph admits an \MVS\ of size at least $k$ has been shown to be \emph{NP-complete}. Thus, prior work has focused on finding maximal \MVS s or restricting attention to specific graph classes. Cactus graphs form a fundamental low-treewidth class, yet the maximum \MVS\ problem for this class remains open. In this paper, we first determine the size of maximum \MVS~in cactus graphs, and introduce two self-stabilizing algorithms that construct such sets. The first algorithm uses a single BFS tree and stabilizes in $O(D)$ rounds with $O(\log n)$ bits per process on average; the second one uses parallel BFS trees and stabilizes in $O(|C_{\max}|+|T_{\max}|)$ rounds, which we show to be asymptotically tight as a function of these two parameters, even on graphs where $|C_{\max}|+|T_{\max}| = o(D)$.
Comments30 pages, 6 figures
