通过 $J$-全纯曲线局部化 Dirac 算子
Localizing a Dirac operator via $J$-holomorphic curves
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中文总结 AI 辅助
本文通过 $J$-全纯曲线构造复线性微扰，利用 Maridakis 指标局部化定理，将满足特定指标的 Dirac 算子指标分解为来自零点集和曲线的局部贡献，从而支持辛 BMY 猜想。
中文摘要 AI 辅助
设 $(M,J)$ 为紧致近厄米 $4$-流形，其上存在一条表示典范类的光滑嵌入 $J$-全纯曲线 $C$。受辛 Bogomolov--Miyaoka--Yau 猜想的启发，我们在 $M$ 上选取一个扭曲的 spin$^{\text{c}}$ Dirac 算子 ${\mathcal D}$，满足 $$ \operatorname{ind}{\mathcal D}=3c_2(M)-c_1^2(M)。 $$ 然后利用曲线 $C$ 构造 ${\mathcal D}$ 的一个复线性微扰 ${\mathcal A}$，其奇异集为 $Z_{\alpha}\sqcup C$，其中 $Z_{\alpha}=\alpha^{-1}(0)$，$\alpha$ 为 $\Lambda^{1,0}M$ 的横截截面且在 $C$ 上非零。应用 Maridakis 指标局部化定理，我们将 $\operatorname{ind}{\mathcal D}$ 表示为局部贡献之和：来自 $Z_{\alpha}$ 的 $3c_2(M)$ 和来自 $C$ 的 $-c_1^2(M)$。
英文摘要
Let $(M,J)$ be a compact almost hermitian $4$-manifold with a smooth embedded $J$-holomorphic curve $C$ representing the canonical class. Motivated by the symplectic Bogomolov--Miyaoka--Yau conjecture, we choose a twisted spin$^{\text{c}}$ Dirac operator ${\mathcal D}$ on $M$ satisfying $$ \operatorname{ind}{\mathcal D}=3c_2(M)-c_1^2(M). $$ We then use the curve $C$ to construct a complex-linear perturbation ${\mathcal A}$ of ${\mathcal D}$ whose singular set is $Z_α\sqcup C$, where $Z_α=α^{-1}(0)$ for a transverse section $α$ of $Λ^{1,0}M$ nonvanishing on $C$. Applying Maridakis' index localization theorem, we express $\operatorname{ind}{\mathcal D}$ as the sum of localized contributions: $3c_2(M)$ from $Z_α$ and $-c_1^2(M)$ from $C$.
