AI 中文总结
本文研究椭圆曲线分裂多项式序列的 $p$-adic 收敛性，在 ordinary 和 supersingular 情形下证明收敛并给出极限的显式代数公式，应用于椭圆可除序列。
AI 中文摘要
设 $p \geq 5$ 为素数，$K$ 为 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张，$E/K$ 为具有好约化的椭圆曲线。令 $F_n$ 表示 $E$ 的 $n$-分裂多项式。Silverman 证明了如果约化为 ordinary 的，则对于每个 $P \in E(K) \setminus \hat{E}(K)$ 和 $p$ 的适当幂 $q$，序列 $(F_{mq^k}(P))_{k \geq 0}$ 在 $p$-adic 意义下收敛到 $E$ 的定义域上的代数极限。在 ordinary 和 supersingular 两种情形下，我们证明这些序列收敛，并利用 Mumford 代数 sigma 函数在 $P$ 的约化的 prime-to-$p$ 挠部分的 Teichmüller 提升处的值，明确确定这些极限。特别地，极限在 supersingular 情形下也是代数的。作为应用，我们得到非奇异椭圆可除序列的显式 $p$-adic 极限公式。
英文摘要
Let $p \geq 5$ be a prime, let $K$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$, and let $E/K$ be an elliptic curve with good reduction. Let $F_n$ denote the $n$-division polynomial of $E$. Silverman proved that if the reduction is ordinary, then for every $P \in E(K) \setminus \hat{E}(K)$ and a suitable power $q$ of $p$, the sequences $(F_{mq^k}(P))_{k \geq 0}$ converge $p$-adically to limits that are algebraic over the field of definition of $E$. In both the ordinary and supersingular cases, we show that these sequences converge, and determine these limits explicitly in terms of the values of Mumford's algebraic sigma function attached to the Teichmüller lift of the prime-to-$p$ torsion component of the reduction of $P$. In particular, the limits are algebraic in the supersingular case as well. As an application, we obtain explicit $p$-adic limit formulas for nonsingular elliptic divisibility sequences.
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