有限斜括号中的左幂零剩余及其补
The Left-Nilpotent Residual and Its Supplements in Finite Skew Braces
- Middle East Technical University（中东理工大学）
- Doğuş University（迪久斯大学）
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AI总结：
本文研究有限斜括号的左幂零剩余，证明其刻画最大左幂零商，并利用群论方法探讨其补的存在性，给出阶18的反例，最后联系KSV可解性。
AI中文摘要：
设 $X$ 为有限斜括号，$L_\infty(X)$ 为其左序列的末项。我们引入左幂零剩余 $\RL(X)$ 并证明 $\RL(X)=\Id_X\bigl(L_\infty(X)\bigr)$。因此 $X/\RL(X)$ 是 $X$ 的最大左幂零商。对于幂零型斜括号，我们将 $\RL(X)$ 与 $\gamma_\infty(X,\cdot)$ 关联，并获得确保 $L_\infty(X)$ 为理想的充分条件，包括 $|X|$ 无立方因子的情形。我们的主要结果涉及 $\RL(X)$ 的补。我们利用互素作用以及 Sylow 与 Hall 理论证明存在性结果，并给出一个阶为 $18$ 的例子，其剩余无真补。最后，迭代 $\RL$ 得到 $X$ 的最大完美子斜括号，且 $X$ 为 KSV-可解的当且仅当该子斜括号为零。
英文摘要：
Let $X$ be a finite skew brace, and let $L_\infty(X)$ be the final term of its left series. We introduce the left-nilpotent residual $\RL(X)$ and prove that $ \RL(X)=\Id_X\bigl(L_\infty(X)\bigr). $ Thus $X/\RL(X)$ is the largest left-nilpotent quotient of $X$. For skew braces of nilpotent type, we relate $\RL(X)$ to $γ_\infty(X,\cdot)$ and obtain conditions ensuring that $L_\infty(X)$ is an ideal, including the case where $|X|$ is cube-free. Our main results concern supplements to $\RL(X)$. We prove existence results using coprime action and Sylow and Hall theory, and give an example of order $18$ whose residual has no proper supplement. Finally, iterating $\RL$ yields the largest perfect subskew brace of $X$, and $X$ is KSV-solvable if and only if this subskew brace is zero.
