表示的有界上同调与最优分离常数
Bounded cohomology and optimal separating constant for representations
- Hokkaido University（北海道大学）
- Tokyo Metropolitan University（东京都立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文证明离散非忠实表示与完整同态的有界基本类之差的无穷范数至少为正则理想3-单纯形体积，并由此得到刚性定理，表明该体积为最优分离常数。
AI中文摘要：
设 $\Sigma$ 为亏格 $>1$ 的闭可定向曲面，$M$ 为具有标记 $i:\Sigma\longrightarrow M$ 的完备双曲 3-流形。我们考虑 $M$ 无抛物尖点且两端中至少一端为单纯退化的情况。对于 $\varGamma=\pi_1(\Sigma)$，令 $\rho_M:\varGamma\longrightarrow \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 为 $M$ 的完整同态，$\rho:\varGamma\longrightarrow \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 为 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 中的任意表示。我们将证明：若 $\rho$ 离散且非忠实，则 \\[ \\| [\mathrm{Vol}(\rho)]-[\mathrm{Vol}(\rho_M)] \\|_\infty \geq \boldsymbol{v}_3 \\] 成立，其中 $[\mathrm{Vol}(\rho)]$ 表示 $\rho$ 在 $\varGamma$ 的有界上同调 $H_b^3(\varGamma,\mathbb{R})$ 中的有界基本类，$\boldsymbol{v}_3$ 为 $\mathbb{H}^3$ 中正则理想 3-单纯形的体积。作为应用，我们在 $\varGamma$ 到 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 的表示集合中，基于 $[\mathrm{Vol}(\rho)]$ 给出了 $\rho_M$ 的刚性定理。该刚性定理蕴含 $\boldsymbol{v}_3$ 是最优分离常数。
英文摘要：
Let $Σ$ be a closed oriented surface of genus $>1$ and $M$ a complete hyperbolic 3-manifold with a marking $i:Σ\longrightarrow M$. We consider the case that $M$ has no parabolic cusps and at least one of the two ends is simply degenerate. For $\varGamma=π_1(Σ)$, let $ρ_M:\varGamma\longrightarrow \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ be the holonomy of $M$ and $ρ:\varGamma\longrightarrow \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ any representation in $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$. We will show that, if $ρ$ is discrete and non-faithful, then \[ \|[\mathrm{Vol}(ρ)]-[\mathrm{Vol}(ρ_M)]\|_\infty\geq \boldsymbol{v}_3 \] holds, where $[\mathrm{Vol}(ρ)]$ denotes the bounded fundamental class of $ρ$ in the bounded cohomology $H_b^3(\varGamma,\mathbb{R})$ of $\varGamma$ and $\boldsymbol{v}_3$ is the volume of a regular ideal 3-simplex in $\mathbb{H}^3$. As an application, we present a rigidity theorem for $ρ_M$ in the set of representations $ρ$ of $\varGamma$ in $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ in terms of $[\mathrm{Vol}(ρ)]$. The rigidity theorem implies that $\boldsymbol{v}_3$ is the optimal separating constant.
