二对数函数的三项无理性结果：Rhin--Viola 与 Viola--Zudilin 构造在 $-1/4$、$1/5$ 和 $-1/3$ 处
Three Irrationality Results for the Dilogarithm: Rhin--Viola and Viola--Zudilin Constructions at $-1/4$, $1/5$, and $-1/3$
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本文通过 Rhin--Viola 和 Viola--Zudilin 构造的改进，证明了二对数函数在 $-1/4$、$1/5$ 和 $-1/3$ 处的无理性，并提供了可执行证书和精确系数对。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了 $\Li_2(-1/4)$、$\Li_2(1/5)$ 和 $\Li_2(-1/3)$ 的无理性。这三个参数构成一个自然的递进序列。第一个是五参数 Rhin--Viola 方法的端点补全。Rhin 和 Viola 在 2019 年的处理已经提供了负参数延拓、置换不变性和阶乘因子；在 $z=-4$ 处，我们使用三个有界平移、一个初等固定围道估计和一个四项递推关系，以消除复鞍点区域中剩余的非零问题。对于 $1/5$，我们转向六参数 Viola--Zudilin 族，并在同一积分的两个二项式展开中逐项应用 Rhin--Viola 阶乘变换。这个继承的因子跨越了未精化的五参数构造在我们的计算中未能达到的算术阈值。同样的杂交，结合负参数延拓，证明了 $-1/3$ 处的结果。所有证明关键的有穷不等式都附有精确的可执行证书。补充计算为 $1/5$ 和 $-1/3$ 各自传播了 $10{,}000$ 个精确的原始系数对，完成了完全的 gcd 去除，并且没有出现已认证的小性或相邻非比例性检查的失败。
英文摘要
We prove the irrationality of \[ \Li_2(-1/4),\qquad \Li_2(1/5),\qquad \Li_2(-1/3). \] The three arguments form a natural progression. The first is an endpoint completion of the five-parameter Rhin--Viola method. Rhin and Viola's 2019 treatment already supplies the negative-argument continuation, permutation invariance and factorial divisor; at $z=-4$ we use three bounded shifts, an elementary fixed-contour estimate and a four-term recurrence to remove the remaining nonvanishing problem in the complex-saddle regime. For $1/5$ we pass to the six-parameter Viola--Zudilin family and apply the Rhin--Viola factorial transformations term by term inside two binomial expansions of the same integral. This inherited divisor crosses the arithmetic threshold that the unrefined five-parameter construction does not reach in our computations. The same crossbreed, combined with the negative-argument continuation, proves the result at $-1/3$. All proof-critical finite inequalities are accompanied by exact executable certificates. Supplementary computations propagate $10{,}000$ exact primitive coefficient pairs for each of $1/5$ and $-1/3$, with complete gcd removal and no failure of the certified smallness or adjacent nonproportionality checks.
发表机构
- Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
