Vopěnka原则在无选择公理下的保持：对称扩张下的保持性
Vopěnka's Principle without Choice: Preservation under Symmetric Extensions
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文证明Vopěnka原则在ZF下对对称扩张保持，并建立与ZFC的等一致性及Löwenheim-Skolem基数存在性，同时给出独立性结果。
中文摘要 AI 辅助
我们证明，在$\nmathsf{ZF}+\mathsf{VP}$的模型中，每个集合大小的对称扩张仍然满足$\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$，其中$\mathsf{VP}$是针对任意集合大小的语言表述的。对于每个标准$n\geq 1$，同样的保持定理对$\mathsf{VP}(\Pi_n)$也成立，允许集合参数和任意集合大小的语言。我们还证明了$\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$与$\mathsf{ZFC}+\mathsf{VP}$是等一致的，并且$\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$证明了真类多个Löwenheim-Skolem基数的存在性。相对于$\operatorname{Con}(\mathsf{ZF}+\mathsf{VP})$，公理$\mathsf{DC}$独立于$\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}+\neg\mathsf{AC}$。该保持定理还产生了满足$\mathsf{VP}$的Feferman-Lévy模型和完全Solovay模型。每个$\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$的可数模型是否具有满足$\mathsf{ZFC}+\mathsf{VP}$的类泛型扩张仍然开放。
英文摘要
We prove that every set-sized symmetric extension of a model of $\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$ again satisfies $\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$, where $\mathsf{VP}$ is formulated for arbitrary set-sized languages. For each standard $n\geq 1$, the same preservation theorem holds for $\mathsf{VP}(Π_n)$, with set parameters and arbitrary set-sized languages. We also prove that $\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$ and $\mathsf{ZFC}+\mathsf{VP}$ are equiconsistent, and that $\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$ proves the existence of a proper class of Löwenheim-Skolem cardinals. Relative to $\operatorname{Con}(\mathsf{ZF}+\mathsf{VP})$, the axiom $\mathsf{DC}$ is independent of $\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}+\neg\mathsf{AC}$. The preservation theorem also yields Feferman-Lévy and full Solovay models satisfying $\mathsf{VP}$. It remains open whether every countable model of $\mathsf{ZF}+\mathsf{VP}$ has a class-generic extension satisfying $\mathsf{ZFC}+\mathsf{VP}$.
