AI 中文总结
本文研究正则曲面上高阶层的 Brill--Noether 理论，通过 He 的形变理论和 Lazarsfeld--Mukai 构造的全局化，推广了 Yoshioka 的定理并给出维数上界，同时得到铅笔情形的光滑性结果。
AI 中文摘要
我们研究满足 $H^1(X,\mathcal{O}_X) = 0$ 的曲面 $X$ 上高阶层的 Brill--Noether 理论，及其与位于 $X$ 上的曲线上的线丛的经典 Brill--Noether 理论的相互作用。记 $\mathrm{Spl}(v)$ 为 $X$ 上具有 Chern 特征 $v = (r,c_1,\mathrm{ch}_2)$ 的单纯层的模空间，我们引入 $\mathrm{Spl}(v)$ 中\emph{一般 $k$-生成}层的 Brill--Noether 轨迹 $BN^k(v)^\circ \subseteq \mathrm{Spl}(v)$，并在对 $c_1$ 和 $K_X$ 的假设下，证明某些良态性结果。特别地，若 $c_1$ 是\emph{不可分解}的且 $X$ 是 K3 曲面，我们推广了 Yoshioka 关于 K3 曲面上层的 Brill--Noether 定理。这通过利用 He 关于相干系统模空间的形变理论以及 Lazarsfeld--Mukai 构造的全局化来实现，从而在 $X$ 上一般 $r$-生成层的 Brill--Noether 理论与曲线 $C \in |c_1|$ 上线丛的相应理论之间建立对应关系。同样的技术给出了由 $\mathcal{W}^{r,\mathrm{bpf}}_d(|c_1|) \setminus \mathcal{W}^{r+1}_d(|c_1|)$ 组成的无基点的线丛的维数上界，该上界以相关的 Lazarsfeld--Mukai 丛的自同态数表示，适用于任意 $c_1$。这推广了 Aprodu 和 Farkas 在 Green 猜想背景下超越 K3 曲面的结果。在 $r = 1$ 的铅笔情形，我们在 $-K_X|_C$ 对 $C \in |c_1|$ 的有效性条件下，获得光滑性和预期维数结果。
英文摘要
We study the Brill--Noether theory of higher rank sheaves on surfaces $X$ with $H^1(X,\mathcal{O}_X) = 0$ and its interactions with the classical Brill--Noether theory of line bundles on curves lying on $X$. Denoting by $\mathrm{Spl}(v)$ the moduli space of simple sheaves on $X$ with Chern character $v = (r,c_1,\mathrm{ch}_2)$, we introduce the Brill--Noether loci $BN^k(v)^\circ \subseteq \mathrm{Spl}(v)$ of \emph{generically $k$-generated} sheaves and show, under assumptions on $c_1$ and $K_X$, certain well-behavedness results. In particular, if $c_1$ is \emph{indecomposable} and $X$ is a K3 surface, we generalize a Brill--Noether theorem for sheaves on K3s due to Yoshioka. This is achieved by employing He's deformation theory of the moduli space of coherent systems and a globalization of the Lazarsfeld--Mukai construction, providing a correspondence between the Brill--Noether theories of generically $r$-generated sheaves on $X$ and that of line bundles on curves $C \in |c_1|$. The same techniques yield upper bounds on the dimension of $\mathcal{W}^{r,\mathrm{bpf}}_d(|c_1|) \setminus \mathcal{W}^{r+1}_d(|c_1|)$ consisting of basepoint-free line bundles in terms of the number of endomorphisms of associated Lazarsfeld--Mukai bundles, for arbitrary $c_1$. This generalizes a result of Aprodu and Farkas in the context of Green's conjecture beyond K3 surfaces. In the case $r = 1$ of pencils, we obtain smoothness and expected-dimension results under an effectivity condition on $-K_X|_C$ for $C \in |c_1|$.
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