发表机构
Centre de recherche INRIA Saclay, École Polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院、巴黎理工学院）
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本文提出并部分证明了一个关于函数域子空间平方的猜想，推广了Freiman定理，证明在子空间包含于低维黎曼-罗赫空间时成立，并引入权的概念。
AI 中文摘要
设 $F$ 是代数闭域 $K$ 上的函数域，$S$ 是 $F$ 的有限维 $K$-子空间。$S$ 的平方由 $S$ 中元素两两乘积的所有乘积张成。我们猜想，如果 $\dim S^2 \leq 3 \dim S - 4$，则 $S^2$ 必须包含一个维数至少为 $2 \dim S - 1 + g$ 的黎曼-罗赫空间，其中 $g$ 是 $F$ 的亏格。这推广了加性组合学中 Freiman 的一个定理，该定理指出小的和集必须包含长的等差数列。我们在 $S$ 包含于维数至多 $3/2\dim S + 1$ 的黎曼-罗赫空间的情形下证明了我们的猜想。证明中我们研究了 $S$ 的零化子，并引入了线性形式的权的概念。
英文摘要
Let $F$ be a function field over an algebraically closed field $K$ and $S$ a finite dimensional $K$-subspace of $F$. The square of $S$ is spanned by all products of pairs of elements in $S$. We conjecture that if $\dim S^2 \leq 3 \dim S - 4$, then $S^2$ must contain a Riemann--Roch space of dimension at least $2 \dim S - 1 + g$, where $g$ is the genus of $F$. This generalizes a theorem of Freiman from additive combinatorics, stating that small sumsets must contain long arithmetic progressions. We prove our conjecture in the case that $S$ is contained in a Riemann--Roch space of dimension at most $3/2\dim S + 1$. For the proof we study the annihilator of $S$ and introduce the notion of weight for linear forms.
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