AI 中文总结
本文证明了一个关于 $\mathbb Z^2$ 稠密子集的均匀乘积差定理，肯定回答了 Fish 的问题并解决了 Davies 的猜想，即正密度集合的差集包含由密度阈值决定的非平凡理想。
AI 中文摘要
我们为 $\mathbb Z^2$ 的稠密子集建立了一个均匀乘积差定理，这给出了 Fish 问题 2 的肯定回答，并作为推论，也肯定回答了他的问题 1 的两个部分。更精确地，我们证明对于每个 $\delta>0$，存在一个整数 $K(\delta)\geq 1$，使得每个具有上 Banach 密度 $d^\star(E)\geq\delta$ 的集合 $E\subseteq\mathbb Z^2$ 满足 $K(\delta)\mathbb Z \subseteq \{ab:(a,b)\in E-E\}$。作为推论，我们获得了 Fish 问题 1 两部分的肯定回答：对于正密度集合 $E_1,E_2\subseteq\mathbb Z$ 和 $E\subseteq\mathbb Z^2$，集合 $(E_1-E_1)^2-(E_2-E_2)^2$ 和 $\{x^2-y^2:(x,y)\in E-E\}$ 分别包含 $\mathbb Z$ 的非平凡理想，其生成元仅依赖于相应的密度阈值。特别地，后一结果也解决了 Davies 关于不定二次型 $x^2-y^2$ 在 $\mathbb Z^2$ 稠密子集中的差的一个猜想。
英文摘要
We establish a uniform product-difference theorem for dense subsets of $\mathbb Z^2$, which gives an affirmative answer to Problem~2 of Fish and, as consequences, to both parts of his Problem~1. More precisely, we prove that for every $δ>0$ there exists an integer $K(δ)\geq 1$ such that every set $E\subseteq\mathbb Z^2$ with upper Banach density $d^\star(E)\geqδ$ satisfies \[ K(δ)\mathbb Z \subseteq \{ab:(a,b)\in E-E\}. \] As consequences, we obtain affirmative answers to both parts of Fish's Problem~1: for positive-density sets $E_1,E_2\subseteq\mathbb Z$ and $E\subseteq\mathbb Z^2$, respectively, the sets \[ (E_1-E_1)^2-(E_2-E_2)^2 \quad\text{and}\quad \{x^2-y^2:(x,y)\in E-E\} \] contain nontrivial ideals of $\mathbb Z$, with generators depending only on the corresponding density thresholds. In particular, the latter result also settles a conjecture of Davies concerning differences of the indefinite quadratic form $x^2-y^2$ in dense subsets of $\mathbb Z^2$.
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