AI 中文总结
本文通过四元数类定义Hasse障碍，证明特殊四次超曲面在Hodge一般成员有理时障碍为零，进而得出多种非常一般四fold的无理性。
AI 中文摘要
对于每个非空的Hassett因子$\mathcal C_d$，其参数化特殊三次四fold，我们考虑四元数类$\beta_d=(d/2,-3)$在二阶挠Brauer群中。我们证明，如果${C}_d$的一个Hodge-一般成员是有理的，则$\beta_d=0$——或等价地，Huybrechts的扭曲K3条件$(**')$成立。因此，当$\beta_d\ne0$时，$\mathcal C_d$的一个非常一般成员是无理的。由此，包含光滑三次滚动面或Veronese曲面的非常一般三次四fold是无理的，从而非常一般的类型为$(\mathrm{c7})$的Küchle四fold也是无理的。我们还获得了Hodge-特殊的Gushel--Mukai四fold的类似障碍：判别式$d$轨迹中的一个非常一般成员只有在$d$是两个平方和时才有理。因此，包含三次滚动面的非常一般Gushel--Mukai四fold是无理的。
英文摘要
For every nonempty Hassett divisor $\mathcal C_d$ parameterizing special cubic fourfolds, we consider the quaternion class $β_d=(d/2,-3)$ in the two-torsion Brauer group. We prove that if a Hodge-general member of ${C}_d$ is rational then $β_d=0$ -- or, equivalently, that Huybrechts' twisted-K3 condition $(**')$ holds. Consequently, a very general member of $\mathcal C_d$ is irrational if $β_d\ne0$. Thus, a very general cubic fourfold containing a smooth cubic scroll or a Veronese surface is irrational, and hence so is a very general Küchle fourfold of type $(\mathrm{c7})$. We also obtain an analogous obstruction for Hodge--special Gushel--Mukai fourfolds: a very general member in the discriminant--$d$ locus can be rational only if $d$ is a sum of two squares. Consequently, a very general Gushel--Mukai fourfold containing a cubic scroll is irrational.
