发表机构
College of Sciences, China Jiliang University（中国计量大学理学院）
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本文系统研究Brown-Tufts引理在控制变体中的推广，证明连通控制多项式满足替换公式，而独立和全控制不满足，并应用公式得出连通控制根的闭包性质。
AI 中文摘要
Brown和Tufts在2014年证明了图替换（字典序积）下控制多项式的替换公式，并利用该公式证明了控制根的闭包是整个复平面。本文对该引理在最常见的控制变体中的推广程度进行了系统研究。我们首先证明了连通控制多项式满足完全相同的替换公式。然后我们表明，该公式对独立控制和全控制均不成立：对于独立控制，我们给出了一个反例并建立了修正公式；对于全控制，我们给出了一个具体的反例。最后，应用连通控制多项式的替换公式，我们证明了实数连通控制根的闭包是$(-\infty,0]$，并且连通控制根的闭包是整个复平面。
英文摘要
We determine the closure of the connected domination roots. The main tool is a substitution formula for the lexicographic product with a complete graph, $D_c(G[K_n],x)=D_c(G,(x+1)^n-1)$, proved in Theorem~\ref{thm:cd}. Combined with two explicit families of seed roots---the real roots of the cycles $C_n$ and the real roots of the joins $C_m\vee C_n$ lying in $(-1,0)$---this formula gives the two main results: the closure of the real connected domination roots is $(-\infty,0]$, and the closure of all connected domination roots is the whole complex plane. These are the connected domination analogues of the root-density theorems of Brown and Tufts and of Brown and Beaton for the ordinary domination polynomial.
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