发表机构
Kanagawa University; Osaka Kyoiku University（神奈川大学; 大阪教育大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
研究椭圆曲线p-挠点生成域及其分歧，确定好约化下各点定义域及坏约化下最大上分歧跳跃，并给出数域上无p挠的全局应用。
AI 中文摘要
设 $E$ 为 $\u201d\mathbb{Q}_p$ 上的椭圆曲线。我们研究由 $E$ 的 $p$-挠点生成的域 $\mathbb{Q}_p(E[p])$。当 $E$ 具有好约化时，我们不仅确定 $\mathbb{Q}_p(E[p])$，还确定每个点 $P\in E[p]$ 的域 $\mathbb{Q}_p(P)$。这一分类给出了在 $\mathbb{Q}_p$ 的非分歧扩张和 Lubin--Tate 扩张上存在 $p$-挠点的判据。作为全局应用，设 $E/\mathbb{Q}$ 为椭圆曲线，$p$ 为奇好约化素数。定义 $f_p(E)$ 在普通情形下为 $a_p(E)$ 模 $p$ 的乘法阶，在超奇异情形下设为 $f_p(E)=p^2-1$。我们证明对每个数域 $K/\mathbb{Q}$ 且 $[K:\mathbb{Q}]<f_p(E)$，有 $E(K)[p]=0$。当 $E$ 具有坏约化时，我们描述 $\mathbb{Q}_p(E[p])/\mathbb{Q}_p$ 的分歧部分。对每种约化类型，我们确定 $\mathbb{Q}_p(E[p])/\mathbb{Q}_p$ 的最大上分歧跳跃。
英文摘要
Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}_p$. We study the field $\mathbb{Q}_p(E[p])$ generated by the $p$-torsion points of $E$. When $E$ has good reduction, we determine not only $\mathbb{Q}_p(E[p])$ but also the field $\mathbb{Q}_p(P)$ for every point $P\in E[p]$. This classification yields criteria for the existence of $p$-torsion over unramified and Lubin--Tate extensions of $\mathbb{Q}_p$. As a global application, let $E/\mathbb{Q}$ be an elliptic curve and let $p$ be an odd prime of good reduction. Define $f_p(E)$ to be the multiplicative order of $a_p(E)$ modulo $p$ in the ordinary case, and set $f_p(E)=p^2-1$ in the supersingular case. We prove that $E(K)[p]=0$ for every number field $K/\mathbb{Q}$ with $[K:\mathbb{Q}]<f_p(E)$. When $E$ has bad reduction, we describe the ramified part of $\mathbb{Q}_p(E[p])/\mathbb{Q}_p$. For every reduction type, we determine the maximal upper ramification break of $\mathbb{Q}_p(E[p])/\mathbb{Q}_p$.
Comments36 pages
