Gowers $U^k$ 不确定性猜想在 $k\ge 6$ 时的反例
A counterexample to the Gowers $U^k$ uncertainty conjecture for $k\ge 6$
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中文总结 AI 辅助
本文构造了 $\mathbb{Z}_3$ 上的两点信号 $f=\delta_0-\delta_1$，证明 Gowers $U^k$ 不确定性猜想对每个 $k\ge 6$ 不成立，左边量趋于 $2/3$。
中文摘要 AI 辅助
Donoho--Stark 不确定性原理断言 $N^d\le|E|\\,|\Sigma|$，而 Aldahleh--Iosevich--Iosevich--Jaimangal--Mayeli--Pack 的加性能量不确定性原理将其改进为 $1\le|E|\cdot\\|1_\Sigma\\|_{U^2}^{4/3}$。人们猜想，对每个 $k\ge 2$，自然的高阶类比 $1\le |E|\cdot\\|1_\Sigma\\|_{U^k}^{2^k/(k+1)}$ 均成立，且陪集情形达到等号。我们证明该猜想对每个 $k\ge 6$ 均不成立。反例是 $\mathbb{Z}_3$ 上的两点信号 $f=\delta_0-\delta_1$，其左边量等于 $2/3(2(k+1))^{1/(k+1)}$；该值恰在 $k\ge 6$ 时小于 1，并趋于 $2/3$。
英文摘要
The Donoho--Stark uncertainty principle asserts $N^d\le|E|\,|Σ|$, and the additive energy uncertainty principle of Aldahleh--Iosevich--Iosevich--Jaimangal--Mayeli--Pack refines it to $1\le|E|\cdot\|1_Σ\|_{U^2}^{4/3}$. It has been conjectured that the natural higher-order analogue \[ 1\le |E|\cdot\|1_Σ\|_{U^k}^{2^k/(k+1)} \] holds for every $k\ge 2$, the coset case giving equality. We show that this fails for every $k\ge 6$. The counterexample is the two-point signal $f=δ_0-δ_1$ on $\mathbb{Z}_3$, for which the left-hand quantity equals $2/3(2(k+1))^{1/(k+1)}$; this is $<1$ precisely when $k\ge 6$, and tends to $2/3$.
发表机构
- Brown University（布朗大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
