AI 中文总结
本文通过实例重编码，为 $d$-命中集问题首次构造了近线性元素核，分别给出 $O(k\log^3k)$ 元素的随机化核和 $O(k^2\log k)$ 元素的确定性核，肯定回答了文献中关于是否存在 $O(k^{d-1-\varepsilon})$ 元素核的开放问题。
AI 中文摘要
在 $d$-命中集问题中，输入包含一个有限全集 $U$，一个由 $U$ 的子集组成的族 $\mathcal S$，其中每个子集的大小至多为 $d$，以及一个整数 $k$。任务是判断 $U$ 中是否至多 $k$ 个元素能与 $\mathcal S$ 中的每个集合相交。对于每个固定的 $d\geq3$，我们为 $d$-命中集给出了一个具有 $O(k\log^3k)$ 个元素的单侧随机化核，以及一个具有 $O(k^2\log k)$ 个元素的确定性核。在单侧随机化核中，每个否定实例总是被映射到否定实例，而肯定实例以常数概率被映射到肯定实例。先前已知的 $d$-命中集核包含 $O(k^{d-1})$ 个元素和 $O(k^d)$ 个集合。文献中曾提出问题：$d$-命中集是否允许具有 $O(k^{d-1-\varepsilon})$ 个元素的核，其中 $\varepsilon>0$ 为某个常数。在本文中，我们通过实例的重编码，给出了近线性元素核，从而肯定地回答了这个问题。另一方面，我们的核可能仍然包含 $k^{O(d)}$ 个集合，且参数 $k$ 可能以多项式方式增长。
英文摘要
In \(d\)-\textsc{Hitting Set}, the input consists of a finite universe \(U\), a family \(\mathcal S\) of subsets of \(U\) with size at most \(d\), and an integer \(k\). The task is to decide whether at most \(k\) elements of \(U\) can intersect every set in \(\mathcal S\). For every fixed \(d\geq3\), we give a one-sided randomized kernel with \(O(k\log^3k)\) elements and a deterministic kernel with \(O(k^2\log k)\) elements for \(d\)-\textsc{Hitting Set}. In the one-sided randomized kernel, every NO-instance is always mapped to a NO-instance, and a YES-instance is mapped to a YES-instance with constant probability. The previously known kernels for \(d\)-\textsc{Hitting Set} contain \(O(k^{d-1})\) elements and \(O(k^d)\) sets. It has been asked in the literature whether \(d\)-\textsc{Hitting Set} allows kernels with \(O(k^{d-1-\varepsilon})\) elements for some constant \(\varepsilon>0\). In this paper, we answer this question affirmatively by giving near-linear element-kernels through a re-encoding of the instance. On the other hand, our kernel may still contain \(k^{O(d)}\) sets and the parameter $k$ may grow polynomially.
