发表机构
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
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本文证明三变量多项式为柱面当且仅当加边海森行列式恒为零，该结论在实数和复数域均成立，并给出高维反例。
AI 中文摘要
我们证明，一个非常数多项式 $f\in\mathbb{C}[x_1,x_2,x_3]$ 是柱面的（即在可逆线性坐标变换后 $f\in\mathbb{C}[x_1,x_2]$）当且仅当其加边海森行列式恒为零。同样的结论在 $\mathbb{R}$ 上也成立。我们还给出了该判据在每一维数 $n\ge4$ 下的显式反例。
英文摘要
We prove that a nonconstant polynomial $f\in\mathbb{C}[x_1,x_2,x_3]$ is cylindrical (that is, $f\in\mathbb{C}[x_1,x_2]$ after an invertible linear change of coordinates) if and only if its bordered Hessian determinant vanishes identically. The same conclusion holds over $\mathbb{R}$. We also give explicit counterexamples to this criterion in every dimension $n\ge4$.
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