$S^3\times S^3$ 上左不变爱因斯坦度量的完全分类

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我们通过解决 $G=\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\cong S^3\times S^3$ 上左不变爱因斯坦度量的剩余情形，完成了六维紧致单连通齐次爱因斯坦流形的分类。先前的工作为迷向群 $K$ 留下两种情形，即 $K=\{e\}$ 和 $K\cong\mathbb Z_2$。我们首先排除 $K=\{e\}$。然后我们证明，由满足 $\tr\sigma=-2$ 的内对合 $\sigma$ 生成的任意 $\mathbb Z_2$ 对称性必然扩展为 $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ 对称性。结合先前已知的分类结果，这些定理意味着 $G$ 上的每个左不变爱因斯坦度量，在相似和等距意义下，要么是标准乘积度量 $g_{\rm can}$，要么是 Jensen 近 Kähler 度量 $g_{\rm NK}$。

英文摘要

We complete the classification of compact simply connected homogeneous Einstein manifolds in dimension six by resolving the remaining cases for left-invariant Einstein metrics on $G=\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)\cong S^3\times S^3$. Previous work leaves two cases for the isotropy group $K$, namely $K=\{e\}$ and $K\cong\mathbb Z_2$. We first rule out $K=\{e\}$. Then we show that any $\mathbb Z_2$ symmetry generated by an inner involution $σ$ with $\trσ=-2$ necessarily extends to a $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ symmetry. Together with the previously known classification results, these theorems imply that every left-invariant Einstein metric on $G$ is, up to homothety and isometry, either the standard product metric $g_{\rm can}$ or the Jensen nearly Kähler metric $g_{\rm NK}$.

发表机构

• The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
• The Ohio State University（俄亥俄州立大学）

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