戴德金算术函数的连续迭代比率的均值与正规阶
Mean Values and Normal Order of a Successive-Iterate Ratio of Dedekind's Arithmetic Function
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文推导了戴德金函数连续迭代比率的三个和的渐近公式，并证明其正规阶为 \\(\frac{6e^\gamma}{\pi^2}\log_3 n\\)，适用于几乎所有正整数。
中文摘要 AI 辅助
我们获得了三个和的渐近公式：\\(\sum_{n\le x}\frac{\psi(\psi(n))}{\psi(n)}\\)、\\(\sum_{n\le x}\frac{\psi(n)}{\psi(\psi(n))}\\) 以及 \\(\sum_{n\le x}\log\frac{\psi(\psi(n))}{\psi(n)}\\)，其中 \\(\psi\\) 表示戴德金算术函数。我们还确定了连续迭代比率的正规阶；更精确地，对于几乎所有正整数 \\(n\\)，有 \\(\frac{\psi(\psi(n))}{\psi(n)} \sim \frac{6e^\gamma}{\pi^2}\log_3 n\\)。
英文摘要
We obtain asymptotic formulas for the three sums \[ \sum_{n\le x}\frac{ψ(ψ(n))}{ψ(n)},\qquad \sum_{n\le x}\frac{ψ(n)}{ψ(ψ(n))},\qquad \sum_{n\le x}\log\frac{ψ(ψ(n))}{ψ(n)}, \] where \(ψ\) denotes Dedekind's arithmetic function. We also determine the normal order of the successive-iterate ratio; more precisely, \[ \frac{ψ(ψ(n))}{ψ(n)} \sim \frac{6e^γ}{π^2}\log_3 n \] for almost all positive integers \(n\).
