发表机构
DICATAM, Università degli Studi di Brescia（布雷西亚大学 DICATAM）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文否定回答了 Erdős-Sárkőzy 关于子集和无三项等差数列的极值问题，通过 Korsky 刻画和 OpenAI 构造的线性形式单射性，证明 $g_3(n)/3^n$ 的下极限为 0。
AI 中文摘要
对于正整数有限集 $A$，设 $H(A)$ 为其子集和集合，并设 $g_3(n)$ 为使某个 $n$ 元集合 $A\subseteq\{1,\ldots,N\}$ 的 $H(A)$ 不含非平凡三项等差数列的最小 $N$。Erdős 和 Sárkőzy 曾问是否 $g_3(n)\gg 3^n$。我们证明 \\[ \liminf_{n\to\infty}\frac{g_3(n)}{3^n}=0. \\] 更精确地，对每个 $\epsilon>0$，存在整数 $d\ge2$ 使得对所有充分大的 $\ell$，有 $g_3(d\ell)\le \epsilon 3^{d\ell}$。证明使用了 Korsky 关于该问题在三元系数和方面的刻画，以及一个 OpenAI 构造的推论，该构造提供正整数系数，其线性形式在大整数盒子上是单射的。三进制展开随后给出结果。
英文摘要
For a finite set $A$ of positive integers, let $H(A)$ be its set of subset sums, and let $g_3(n)$ be the least $N$ for which some $n$-element set $A\subseteq\{1,\ldots,N\}$ has $H(A)$ free of nonconstant three-term arithmetic progressions. Erdős and Sárkőzy asked whether $g_3(n)\gg 3^n$. We prove \[ \liminf_{n\to\infty}\frac{g_3(n)}{3^n}=0. \] More precisely, for every $ε>0$ there is an integer $d\ge2$ such that $g_3(d\ell)\le ε3^{d\ell}$ for all sufficiently large $\ell$. The proof uses Korsky's characterization of the problem in terms of ternary coefficient sums and a consequence of an OpenAI construction that provides positive integer coefficients whose linear form is injective on large integer boxes. A base-three expansion then gives the result.
