关于Bell多项式的Cramér大偏差性质
About the Cramér Large Deviation Property for Bell Polynomials
- Vestavia Hills High School（维斯塔维拉高中）
- University of Alabama at Birmingham（阿拉巴马大学伯明翰分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文研究基于序列的Bell多项式满足Cramér型大偏差性质的条件，通过Erdös归纳论证给出两个技术条件，确保极限成立。
AI中文摘要：
若$\boldsymbol{w} = (w_1,w_2,\dots)$是$\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}$中的一个序列，则基于$\boldsymbol{w}$的部分Bell多项式为$B_{n,k}$，其中$k \in \mathbb{N}$且$n\in\{k,k+1,\dots\}$。设$F(z) = \sum_{n=1}^{\infty} (w_n/n!)z^n$为$\boldsymbol{w}$的指数生成函数，并假设其收敛半径为正数$R>0$。则对于$|z|<R$，有$F(z)^k = \sum_{n=k}^{\infty} (k!/n!) z^n B_{n,k}$。或者，定义$Q_{k,n} = (k!/n!)B_{n,k}$，则$Q_{1,n} = w_n/n!$，且对于$k\geq 1$，$Q_{k+1,n}=\sum_{m=1}^{n-k} Q_{1,m} Q_{k,n-m}$。我们称Cramér型大偏差性质成立，若对每个$\kappa \in (0,1)$，有$$ \lim_{\substack{n \to \infty\\\\ k/n \to \kappa}} \frac{1}{n}\\, \ln\left(Q_{k,n}\right)\\, =\\, \mathcal{G}(\kappa)\\,,$$其中$\mathcal{G}(\kappa)=\inf_{r \in (0,R)} (\kappa \ln(F(r))-\ln(r))$。(Hardy-Ramanujan) Erdös归纳论证表明，只要两个技术条件成立，这一性质通常应当成立：一个是初始步骤，另一个是针对小密度$\kappa$的条件。
英文摘要：
If $\boldsymbol{w} = (w_1,w_2,\dots)$ is a sequence in $\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}$, the partial Bell polynomials based on $\boldsymbol{w}$ are $B_{n,k}$ for $k \in \mathbb{N}$ and $n\in\{k,k+1,\dots\}$. Let $F(z) = \sum_{n=1}^{\infty} (w_n/n!)z^n$ be the exponential generating function for $\boldsymbol{w}$, and assume the radius of convegence is positive $R>0$. Then $F(z)^k = \sum_{n=k}^{\infty} (k!/n!) z^n B_{n,k}$ for $|z|<R$. Alternatively, defining $Q_{k,n} = (k!/n!)B_{n,k}$, we have $Q_{1,n} = w_n/n!$, and $Q_{k+1,n}=\sum_{m=1}^{n-k} Q_{1,m} Q_{k,n-m}$ for $k\geq 1$. Let us say that the Cramér-type large deviation property holds if $$ \lim_{\substack{n \to \infty\\ k/n \to κ}} \frac{1}{n}\, \ln\left(Q_{k,n}\right)\, =\, \mathcal{G}(κ)\, ,$$ for every $κ\in (0,1)$, where $\mathcal{G}(κ)=\inf_{r \in (0,R)} (κ\ln(F(r))-\ln(r))$. The (Hardy-Ramanujan) Erdös induction argument suggests this should generally be true as long as two technical conditions are true: one an initial step, and the other a condition for small densities $κ$.
