正则树上的Weinstock不等式
Weinstock Inequality on Regular Trees
- Fujian Normal University（福建师范大学）
- Peking University（北京大学）
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中文总结 AI 辅助
本文证明无限正则树上任意有限连通顶点集满足锐利谱不等式，等号仅当顶点集为球时成立，并由此得到离散Weinstock不等式。
中文摘要 AI 辅助
设$T_n$为无限$n$-正则树，$n\ge3$。我们证明每个有限连通顶点集$\Omega\subset T_n$满足锐利不等式 \\[ \sigma_1(\Omega)\le \frac{n}{(n-1)|\Omega|+1}. \\] 等号成立当且仅当$\Omega$为球。由于 \\[ |\delta\Omega|=(n-2)|\Omega|+2, \\] 该结果等价于在固定外部边界基数下的锐利上界，因此是$T_n$上的离散Weinstock不等式。
英文摘要
Let $T_n$ be the infinite $n$-regular tree, $n\ge3$. We prove that every finite connected vertex set $Ω\subset T_n$ satisfies the sharp inequality \[ σ_1(Ω)\le \frac{n}{(n-1)|Ω|+1}. \] Equality holds if and only if $Ω$ is a ball. Since \[ |δΩ|=(n-2)|Ω|+2, \] the result is equivalently a sharp upper bound at fixed external boundary cardinality, and hence a discrete Weinstock inequality on $T_n$.
