发表机构
School of Mathematics, Shandong University; Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University; School of Sciences, Great Bay University（山东大学数学学院; 香港理工大学应用数学系; 大湾区大学理学院）
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本文在完备黎曼流形上建立正双调和函数的 Cheng-Yau 型估计，并推广至多调和函数，给出非负 Ricci 曲率下的锐利梯度界与增长阶。
AI 中文摘要
我们在 Ricci 曲率满足 $Ric_g \ge -(n-1)K g$ 的完备黎曼流形上，建立了正双调和函数的 Cheng-Yau 型估计。若 $u$ 是 $B_{2R}(p)$ 上的正双调和函数，则在 $B_R(p)$ 上有 $$ -\frac{\Delta_g u}{u} +\frac{1}{8n}\frac{|\nabla u|_g^2}{u^2} \le C_n\left(R^{-2}+K\right) 。 $$ 进一步，若 Ricci 曲率非负，则每个全局正双调和函数满足 $\Delta_g u\equiv c$ 以及锐利估计 $|\nabla u|_g^2\le2cu$，其中 $c$ 为非负常数。我们还证明了每个正 $k$-多调和函数具有非负常数的 $(k-1)$-阶拉普拉斯，并且增长阶至多为 $2k-2$。
英文摘要
We establish a Cheng-Yau type estimate for positive biharmonic functions on complete Riemannian manifolds with Ricci curvature satisfies $Ric_g \ge -(n-1)K g$. If $u$ is a positive biharmonic function in $B_{2R}(p)$, then $$ -\frac{Δ_g u}{u} +\frac{1}{8n}\frac{|\nabla u|_g^2}{u^2} \le C_n\left(R^{-2}+K\right) \quad\text{on }B_R(p). $$ Further, if the Ricci curvature is nonnegative, every global positive biharmonic function satisfies $Δ_g u\equiv c$ and the sharp estimate $|\nabla u|_g^2\le2cu$ for some nonnegative constant $c$. We also show that every positive $k$-polyharmonic function has nonnegative constant $(k-1)$-st Laplacian and growth of order at most $2k-2$.
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