发表机构
Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）
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本文在笛卡尔切触范畴中构造微分立方形式的Cartan演算，证明其构成CDGA，并在无2-挠条件下得到介于Kähler与Lie-Rinehart形式之间的演算，恢复de Rham复形。
AI 中文摘要
我们在一个笛卡尔切触范畴中，对对象$X$上的微分立方形式构造了Cartan演算，该范畴带有由交换环对象$R$给出的标量乘法。借用立方奇异同调的术语，我们将一个（无穷小）立方$n$-形式定义为迭代切丛上的态射$\omega: T^n X \to R$，它在$T^n$的每个因子上都是反对称且$R$-线性的。若该形式在纤维方向上还是其自身的导数，则我们称其为微分的。（此形式概念是Cruttwell和Lucyshyn-Wright的奇异形式的一个特例。）我们证明了微分立方形式自然具有交换微分分次代数（CDGA）的结构。然后我们证明，若环对象没有$2$-挠，则该CDGA连同向量场的Lie代数及内导数一起构成一个Cartan演算。它介于其初始的代数Kähler形式的Cartan演算与终端的Lie-Rinehart形式的Cartan演算之间。我们给出了一些例子。特别地，在特征不为二的域上的仿射概形上以及弹性微分空间上，我们恢复了通常的de Rham复形，它一般不同于Lie-Rinehart形式的复形。
英文摘要
We construct the Cartan calculus of differential cubical forms on an object $X$ of a cartesian tangent category with a scalar multiplication by a commutative ring object $R$. We prove that the differential cubical forms are naturally equipped with the structure of a commutative differential graded algebra. Then we show that, if $R$ has no $2$-torsion, this CDGA together with the Lie algebra of vector fields and the inner derivatives constitutes a Cartan calculus, which lies between the initial Cartan calculus of algebraic Kaehler forms and the terminal one of Lie-Rinehart forms. We give a number of examples, including affine schemes and elastic diffeological spaces, and show that we recover the established notions of differential forms in all cases.
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