$q$-显微镜下的 mock theta 分母模式
A $q$-microscope for mock-theta denominator patterns
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文用创造性显微方法统一处理三个经典三阶 mock theta 分母模式，证明有限 theta 求值、微观 q-超同余及 p-adic 推论。
中文摘要 AI 辅助
我们给出了一个系统的创造性显微（creative-microscoping）处理，针对与三个经典三阶 mock theta 分母模式相关的截断基本超几何和，这些模式由 $\phi(q)$、$\omega(q)$ 和 $\nu(q)$ 表示。主要概念性观点是，这些分母模式自然地允许在 $a=q^{\pm n}$ 处的精确有限 theta 求值、微观 $q$-超同余以及在一个统一框架内的 cyclotomic/$p$-adic 推论。对于 \\[ S(q,a):=\sum_{n\ge 0}\frac{q^{2n+1}(aq,q/a;q^2)_n}{(-q^2;q^2)_n}, \\] 我们证明了，对于奇数 $n$，在 $a=q^{\pm n}$ 处的有限 theta 求值，等价于一个微观 $q$-超同余。我们证明了对于 $\nu$-型分母 \\[ N_m(q,a):=\sum_{j=0}^{m} q^{2j+1}\frac{(aq,q/a;q^2)_j}{(-q;q^2)_{j+1}} \\] 的类似有限 theta 求值。然后我们引入单参数分母族 \\[ \T(q;b):=\sum_{n\ge 0} q^{2n}\frac{(q;q^2)_n^2}{(q^2;q^2)_n(b;q^2)_n}, \\] 其特化包括 $\omega$-型平移分母（$b=q^3$）和双色族（$b=q^{2k}$）。对于其截断的 $a$-扩展，我们在 $a=q^{\pm n}$ 处获得精确求值，推导出模 $(a-q^n)(1-aq^n)$ 的微观同余，并得出 cyclotomic 推论，包括 $q^{2k}$-子族中的零同余以及 $b=q$ 和 $b=q^3$ 情况下的非平凡 $p$-adic 版本。
英文摘要
We give a systematic creative-microscoping treatment of truncated basic hypergeometric sums attached to three classical third-order mock theta denominator patterns, represented by $ϕ(q)$, $ω(q)$, and $ν(q)$. The main conceptual point is that these denominator patterns naturally admit exact finite theta evaluations at $a=q^{\pm n}$, microscopic $q$-supercongruences, and cyclotomic/$p$-adic consequences within a single framework. For \[ S(q,a):=\sum_{n\ge 0}\frac{q^{2n+1}(aq,q/a;q^2)_n}{(-q^2;q^2)_n}, \] we prove, for odd $n$, a finite theta evaluation at $a=q^{\pm n}$, equivalently a microscopic $q$-supercongruence. We prove an analogous finite theta evaluation for the $ν$-type denominator \[ N_m(q,a):=\sum_{j=0}^{m} q^{2j+1}\frac{(aq,q/a;q^2)_j}{(-q;q^2)_{j+1}}. \] We then introduce the one-parameter denominator family \[ \T(q;b):=\sum_{n\ge 0} q^{2n}\frac{(q;q^2)_n^2}{(q^2;q^2)_n(b;q^2)_n}, \] whose specializations include the $ω$-type shifted denominator ($b=q^3$) and the two-color family ($b=q^{2k}$). For its truncated $a$-extension we obtain an exact evaluation at $a=q^{\pm n}$, deduce microscopic congruences modulo $(a-q^n)(1-aq^n)$, and derive cyclotomic consequences, including zero congruences in the $q^{2k}$-subfamily and nontrivial $p$-adic versions for the cases $b=q$ and $b=q^3$.
发表机构
- United Arab Emirates University（阿联酋大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
